Finden Sie eine Treppenfunktion φ: [0, 10] → R, welche die folgenden drei Eigenschaften erfüllt:

Question

Aufgabe:

Finden Sie eine Treppenfunktion φ: [0, 10] → R, welche die folgenden drei

Eigenschaften erfüllt:

1. $\varphi(x)=2$ für alle $x \in] 1,3[$.
2. $\varphi$ nimmt auf $[0,10]$ genau 5 verschiedene Werte an.
3. $\int \limits_{0}^{10} \varphi(x) d x=0$.

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen: Das erste mal Treppenfunktionen und ich blicke nicht durch wie solch eine Aufgabe zu lösen ist bzw. finde keine hilfreichen Erklärungen zur Vorgehensweise.

Comments

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Answer 1

Aloha :)

Hier gibt es unendlich viele Lösungen. Wir bauen mal eine zusammen.

Bedingung $1$ ist eindeutig:$$\varphi(x)=\left\{\begin{array}{ll}\pink2 & \text{für }\pink{1<x<3}\end{array}\right.$$

Bedingung $2$ fordert die Aufteilung von $x\in[0;10]$ in genau 5 Intervalle, wir wählen:$$\varphi(x)=\left\{\begin{array}{ll}? & \text{für }0\le x\le1\\\pink2 & \text{für }\pink{1<x<3}\\? & \text{für }3\le x<4\\? & \text{für }4\le x<5\\? & \text{für }5\le x\le10\end{array}\right.$$die wir mit unterschiedlichen Werten belegen sollen.

Bedinung $3$ fordert, dass die Integralbedinung erfüllt wird. Wir wählen dazu die ersten 3 Fragezeichen beliebig aus (aber Achtung: keine doppelten):$$\varphi(x)=\left\{\begin{array}{rl}1 & \text{für }0\le x\le1\\\pink2 & \text{für }\pink{1<x<3}\\3 & \text{für }3\le x<4\\4 & \text{für }4\le x<5\\a & \text{für }5\le x\le10\end{array}\right.$$und überlegen uns nun den Wert für das letzte Fragezeichen bzw. $a$:$$\small 0\stackrel!=1\cdot(1-0)+2\cdot(3-1)+3\cdot(4-3)+4\cdot(5-4)+x\cdot(10-5)=12+5a\implies a=-2,4$$

Damit haben wir eine mögliche Treppenfunktion gefunden, die alle Anforderungen erfüllt:$$\varphi(x)=\left\{\begin{array}{cl}1 & \text{für }0\le x\le1\\\pink2 & \text{für }\pink{1<x<3}\\3 & \text{für }3\le x<4\\4 & \text{für }4\le x<5\\-2,4 & \text{für }5\le x\le10\end{array}\right.$$

Comments

Vielen Dank für diese ausführliche und vor allem übersichtliche Erklärung. Ist im Nachhinein doch trivialer bzw. einfacher als gedacht :).