Konvergenz von geometrischen Reihen: Summe x^n konvergiert für |x|<1 und divergiert für |x|≥1

Question

Beispiel ( 1): Die geometrische Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} x^{n} \) konvergiert für \( |x|<1 \) und divergiert für \( |x| \geq 1 . \) Denn für \( x \in \mathbb{R}, x \neq 1 \) ist
$$ \sum \limits_{n=0}^{k} x^{n}=\frac{1-x^{k+1}}{1-x}. $$

Wieso gilt das?Kann mir das einfach nicht erklären.

Comments

Was genau kannst du dir nicht erklären? Die Summenformel oder die Fallunterscheidung zu Konvergenz und Divergenz?

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@Seitenprogrammierer: Wie kann ich die rechts eingeblendeten Felder ausschalten? Ich schreibe hier unter diese und sehe so nicht, was ich eingebe?

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@Lu: Der Editor sollte jetzt nicht mehr überdeckt sein. Bitte Seite komplett neu laden mit Strg+F5 und dann auf Kommentieren klicken.

Answer 1

Bei Wikipedia findest du die Herleitung für die Partialsummen einer geometrischen Reihe

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Ich spare mir das hier mal einfach zu übernehmen. Wenn Du fragen dazu hast, kannst du aber gerne Fragen.