Eine Algenkultur vermehrt sich annähernd exponentiell.

Question

Hay Leute

Unswar geht es darum ich schreibe demnächst eine Matheklausur und war am lernen mit ein paar Übungsaufgaben. Eine davon verstehe ich irgendwie gar nicht so richtig. Würde mich freuen, wenn es jemand mir ausführlich erklären könnte.
Wäre sehr dankbar

Die Aufgabe :

Eine Algenkultur vermehrt sich annähernd exponentiell. Genau vor drei Tagen gab es rund 55% weniger Algen als jetzt.

a) Gunter meint, dass sich alle Algen täglich um etwa 16% vermehren. Thomas hingegen behauptet, die tägliche Zunahme liege bei etwa 30,5%. Wer hat Recht ? Begründe.

b) Berechne mithilfe von a): Wie viel Prozent mehr Algen als jetzt wird es in genau 4 Tagen geben ? Wie viel Prozent weniger Algen gibt es jetzt im Vergleich zu denen in 4 Tagen ?

Würde mich sehr freuen wenn ihr mir dabei helfen würdet.

MFG

Answer 1

a)

heute haben wir die menge M = 1
vor drei tagen, zum zeitpunkt t = 0, hatten wir die menge 1 - 0.55*1 = 0.45
wachstumsfunktion in abhängigkeit von t aufstellen.

M(t) = M₀b^t

M₀: algenmenge zum zeitpunkt t = 0, also M = 0.45
t: zeit in tagen
b: zunächst noch unbekannt

mit M₀ = 0.45 lautet die wachstumsfunktion
M(t) = 0.45b^t

wir wissen, dass heute die algenmenge M(3) = 0.45b^3 = 1 ist.
durch umstellen nach b erhalten wir:
b = ³√(1/0.45)
b ≈ 1.3

damit haben wir die vollständige wachstumsfunktion
M(t) = 0.45*1.3^t

vor drei tagen, zum zeitpunkt t=0 war die algenmenge
M(0) = 0.45*1.3^0 = M₀ = 0.45
einen tag später war die algenmenge
M(1) = 0.45*1.3^1 = 0.585
um wieviel prozent hat sich die algenmenge vergrößert?
0.585 - 0.45 = 0.135
das sind
0.135/0.45 = 0.3, also 30%

b)

benutze die gefundene formel M(t) = 0.45*1.3^t

lg

Comments

Danke für die Antwort jetzt hab ich es verstanden ;)

Answer 2

1,55=a^3

a=1,55^{1/3}=1,1573

Das entspricht 15,73, also rund 16%.

b) 1,16^4=1,8106

Das sind 81,06 %

Aus 100 Algen werden in 4 Tagen 181 Algen.

81/181=0,4477=44,77%

Comments

Danke für die Antwort und sie ist es sehr wahrscheinlich richtig aber wärst du vielleicht mal so nett und könntest mir erklären wie du auf die entsprechenden Rechnung gekommen bist.

Ich verstehe grad nicht  wie du bei a) auf 1,55=a³ gekommen bist
und bei b) 1,16^4

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Wenn es vor drei Tagen z.B. 100 Algen gab, sind es jetzt 155. 155 ist 55% mehr bezogen auf 100. Das ergibt den Wachstumsfaktor a =1,55 (100*1,55=155) für 3 Tage. Diesen muss man auf 1 Tag umrechnen.

Hat man den tägl. Faktor ermittelt, kann man mit jeder beliebigen Anzahl an Tagen weiterrechnen.

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Dein Vorgehen ist natürlich im Prinzip richtig, allerdings machst Du einen kleinen Denkfehler:
Du darfst die 55% nicht auf die ursprüngliche Anzahl beziehen, sondern auf die jetzige:

"Genau vor drei Tagen gab es rund 55% weniger Algen als jetzt."

Wenn es vor drei Tagen wie in Deinem Beispiel 100 Algen waren, dann wären es jetzt nicht 155 Algen, sondern ca. 222;

55% weniger Algen als jetzt sind 222 - 55% ≈ 100!

Siehe auch die Antworten von gorgar und mir.

Besten Gruß

Answer 3

 

wenn wir heute 100 Algen haben, dann hatten wir vor genau drei Tagen 45 Algen ("55% weniger Algen als jetzt").

Das heißt, es gab in drei Tagen eine Zunahme von 122 2/9 Prozent.

Demnach:

a³ = 2,22222... = 20/9

a ≈ 1,3049558804

Probe:

Tag 1: 45 Algen

Tag 2: 45 * 1,3049558804 ≈ 58,72 Algen

Tag 3: 45 * (1,3049558804)² ≈ 76,63 Algen

Tag 4: 45 * (1,3049558804)³ = 100 Algen

 

Thomas hat Recht, nicht Gunter!

 

b) probierst Du bitte selbst mal, ja?

 

Besten Gruß

Comments

Danke, Brucybabe. Ich habe mich im Bezugpunkt geirrt.

Gut, dass du drübergeschaut hast. :))

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Danke für deine Antwort ebenfalls. Habe es nun verstanden

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Prima, freut mich sehr!

Gern geschehen :-)