Gleichung für ganze Zahlen 615+x²=2^y lösen

Question

ich beschäftige mich zurzeit mit ein paar Aufgaben, die ich eigentlich durch ein Programm lösen soll. Hier geht es konkret darum, eine Lösung für die Gleichung \(615+x^2=2^y\) zu finden, wobei x und y ganze Zahlen sein sollen. Kann man das auch mathematisch lösen, also einfach durch Überlegung anstatt mit einem Computer zu probieren?

Danke euch vorab für eure Mühe

Comments

Bei MindYourDecisions gibt es eine ausführliche Lösung:

https://youtu.be/DOISjFviqkM

Answer 1

Aloha :)

Da \(x^2\ge0\) ist, muss \(2^y\ge615\) sein, daher ist \(y\ge10\). Wir stellen die betrachtete Gleichung nach \(x^2\) um,$$x^2=2^y-615$$und schauen, für welche \(y\)-Werte sich eine Quadratzahl ergibt:

$$x^2=2^{10}-615=409$$$$x^2=2^{11}-615=1433$$$$x^2=2^{12}-615=3481=(\pm59)^2$$

Damit haben wir bereits die ersten zwei Lösungen gefunden: \(y=12\;;\;x=\pm59\).

Ich weiß noch nicht, ob es weitere Lösungen gibt, ist auch spät geworden. Ich schaue mir das Problem morgen nochmal in Ruhe an ;)

Answer 2

Wir stellen die Gleichung nach 615 um:

615=2^y-x² .

Fall 1:

Falls y gerade ist, gilt y=2k und somit 615=(2^k-x)(2^k+x).

615 besteht aus den Primfaktoren 3, 5 und 41.

Damit gibt es mit x>0 folgende Möglichkeiten:

(2^k-x)=1 und (2^k+x)=615

(2^k-x)=3 und (2^k+x)=205

(2^k-x)=5 und (2^k+x)=123

(2^k-x)=15 und (2^k+x)=41

Nur im vorletzten Fall ergeben sich ganzzahlige Lösungen mit k=6 und x=59.

Falls y also gerade ist, gibt es nur eine Lösung für y=12, x=59 (und dann auch x=-59).

Fall 2:
Für ungerade y gilt 2^y ≡ 2 mod 10 oder 2^y ≡ 8 mod 10.

Wegen  615 ≡ 5 mod 10 müsste  x² ≡ 7 mod 10 oder x² ≡ 3 mod 10 gelten.

Da keine Quadratzahl auf 3 oder 7 endet, gibt es für ungerade y keine Lösung

Comments

Hallo Eluna, was hast du nicht verstanden?

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@abakus: Hast du gerade Zeit für https://www.stacklounge.de/4941/vom-algorithmus-zur-rekursionsgleichung?show=4966#c4966 ?

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Tut mir leid, kann damit ohne langes vertiefendes Lesen nichts anfangen.

Habe gerade ein anderes Problem in Arbeit...

Answer 3

Algebraisch kann man das nicht  lösen, da du nur eine Gleichung mit 2 Unbekannten hast.