Teilbarkeitsbeweis mit Prim Potenz

Question

Aufgabe:

Prüfen sie ob

7^23-2  mit 143  Teilbar ist.

Problem/Ansatz:

habe da kleines Problem. Da die Potenz der 7 ja leider ne Primzahl ist, kann ich die ja nicht einfach mit dem ds Potenzgesetzen in andere Teiler zerlegen, um so die Teilbarkeit mit dem Modulus beweisen zu können.

Jetzt könnte man wahrscheinlich den kleinen Satz von Fermat bzw. dessen Umkehrung nutzen, nur leider checke ich den überhaupt nicht :/

Wenn ihr ein paar Tipps und Gedankenanstöße hättet wäre ich euch sehr Dankbar.

Answer 1

Nach dem kleinen Satz von Fermat gilt
(1)  7²³ ≡ 7³ ≡ 2 mod 11.
(2)  7²³ ≡ 7^-1 ≡ 2 mod 13.
Also ist 7²³ - 2 ∈ 11ℤ ∩ 13ℤ = 143ℤ.