Steigung mittels der Differenzialqoutienten bestimmen an bestimmter Stelle

Question

ich habe eine Frage an euch. Und zwar soll ich die Steigung von f an der Stelle x mithilfe von dem Differnzialqoutienten bestimmen.

Wie gehe ich dabei vor?

Als Beispiele:

f(x)=-0,5x^2 - 2     x=-1

f(x)= 2/x     x=4

Ich würde mich freuen, wenn es jemand erklärt bekommt. für den Zeitaufwand!

Answer 1

Aloha :)

zu a) \(\quad f(x)=-\frac{1}{2}x^2-2\quad;\quad x_0=-1\)$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{-\frac{1}{2}(-1+h)^2-2)-\left(-\frac{1}{2}((-1)^2-2)\right)}{h}$$$$=\frac{-\frac{1}{2}(h^2-2h+1-2)-\frac{1}{2}}{h}=\frac{-\frac{1}{2}h^2+h+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{h}=1-\frac{h}{2}\to1$$

zu b) \(\quad f(x)=\frac{2}{x}\quad;\quad x_0=4\)$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{\frac{2}{4+h}-\frac{2}{4}}{h}=\frac{\frac{4\cdot2-2(4+h)}{4(4+h)}}{h}=\frac{8-8-2h}{4h(4+h)}=\frac{-2}{4(4+h)}\to-\frac{1}{8}$$

Answer 2

( f(x+h) - f(x) ) / h   Grenzwert für h gegen 0 bestimmen.

Also beim ersten

( f(-1+h) - f(-1) ) / h

=( -0,5*(-1+h)^2 - 2 - (-2,5) ) / h

=( -0,5*(1-2h+h^2) - 2 +2,5 ) / h

=( -0,5+h-0,5h^2 - 2 + 2,5 ) / h

=( h-0,5h^2  ) / h  kürzen

= 1-0,5h

Für h gegen 0 hat das den Grenzwert 1, also

f ' (-1) = 1.

Answer 3

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