Mithilfe der Def. der Konvergenz zeigen dass die Folge "" nicht konvergiert

Question

Aufgabe:

Mithilfe der Definition der Konvergenz zeigen dass die Folge

" \( ((-1)^{n} \) _n∈ℕ

_{nicht konvergiert}

Problem/Ansatz:

Nach langem überlegen weiß ich nicht wie ich an diese Aufgabe herangehen soll bzw. wie ich sie lösen soll.. Kann mir jemand bitte helfen? :)

Comments

Mithilfe der Definition der Konvergenz

Es gibt mehrere Definitionen der Konvergenz einer Folge (a_n)_n∈ℕ:

• ∃ a ∀ ε > 0 ∃n₀ ∈ ℕ ∀ n > n₀: |a_n - a| < ε
  
• ∀ ε > 0 ∃n₀ ∈ ℕ ∀ n, m > n0: |a_n - a_m| < ε

Welche verwendest du?

Answer 1

Angenommen es gäbe einen Grenzwert g. Dann müsste es für

jedes ε>0 ein N geben, so dass für n>N gilt | an - g | < ε.

Nun hat aber an immer nur den Wert 1 oder minus 1 und zwar immer

abwechselnd.  Also würde für jedes pos. ε  gelten

 |1-g| < ε  und    |-1-g| < ε

-ε < 1-g < ε   und    -ε < -1-g < ε

-ε-1 < -g < ε-1   und    -ε+1 < -g < ε+1

Wähle etwa   ε=0,1 dann heißt das

-1,1  < -g < -0,9  und   0,9 < -g < 1,1

Nun gibt es aber keine Zahl, die sowohl zwischen

-1,1 und -0,9  als auch zwischen 0,9 und 1,1 liegt.

Widerspruch !  Also war die Annahme : " Es gibt einen Grenzwert"

falsch.