Konvergenz/Divergenz von Folgen: an:= (-1)^n + (1/n) Beh. konvergiert nicht.

Question

Ich komme nicht weiter mit meiner Matheaufgabe :/

Zeigen Sie mit der Definition von Konvergenz von Folgen, dass die Folge

a_n = (-1)ⁿ + (1÷n)   nicht konvergent ist. Da habe ich als erstes also mal die Definition von Konvergenz nachgeschaut:

 Eine Folge a_n  heißt konvergent gegen a, falls gilt: Für alle ε≥0 existiert ein n₀ ∈ ℕ mit der Eigenschaft Ia_n -aI ≤ ε für alle n ≥ n₀

Ich nehme also an, dass die Folge konvergent ist und führe dann per indirekten Beweis die Aussage zum Widerspruch. Es sei also a ein Grenzwert, gegen den die Folge konvergiert und ich weise quasi nach, dass dieses kein Grenzwert sein kann, weil die Folge ja keinen hat...? Hat vielleicht jemand einen Ansatz oder kann mir irgendwie weiterhelfen?

Answer 1

Hallo,

bei einer konvergenten Folge hat jede Teilfolge denselben Grenzwert.

Bei unserer Folge haben wir zwei Teilfolgen:
\((a_{2n}=1+\frac{1}{2n})\) und \((a_{2n+1}=-1+\frac{1}{2n+1})\).

Für die Grenzwerte erhält man
\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{2n}=1\) und \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{2n+1}=-1\).

Die Grenzwerte sind also verschieden, d.h. die Folge kann nicht konvergieren.

Gruß ermanus