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Supremum und Infimum von Mengen
Menge A: \(A = \{ f(x) ; x \in \mathbb{R} \}\), wobei \(f(x) = x^2\)
Um das Supremum und Infimum von Menge A zu bestimmen, analysieren wir die Funktion \(f(x) = x^2\). Diese Funktion beschreibt eine Parabel, die ihren Tiefpunkt bei \(x = 0\) hat und nach oben offen ist.
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Infimum: Das Infimum (die untere Grenze) dieser Menge ist der niedrigste Punkt der Parabel, also bei \(x = 0\). Hierbei ist \(f(0) = 0^2 = 0\). Da \(0\) ein Wert in der Menge ist, ist \(0\) auch das Minimum der Menge A.
Inf(A) = Min(A) = 0
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Supremum: Da die Parabel nach oben offen ist und für \(x \rightarrow \pm\infty, f(x) = x^2 \rightarrow \infty\) geht, hat die Menge A kein Maximum, aber das Supremum ist unendlich.
Sup(A) = \infty
Da das Supremum unendlich ist, existiert kein Maximum der Menge A.
Menge B: \(B = \left( 2 (-1)^{m+1} + \frac{3}{n} ; n,m \in \mathbb{N} \right) \cup \{-2\}\)
Für die Menge B müssen wir die verschiedenen Terme, die durch die Formel gegeben sind, analysieren:
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\(2 (-1)^{m+1}\): Dieser Ausdruck osciliert zwischen \(2\) und \(-2\), je nachdem ob \(m\) gerade oder ungerade ist.
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\(+ \frac{3}{n}\): Da \(n \in \mathbb{N}\), variiert \(\frac{3}{n}\) in dem Bereich \(]0,3]\), und nähert sich \(0\) an, je größer \(n\) wird.
Also, für \(m\) ungerade (z.B. \(m = 1\)) haben wir \(2(-1)^{2} = 2\) und für \(m\) gerade (z.B. \(m = 2\)) \(2(-1)^{3} = -2\).
Das Element \(-2\) ist direkt in der Menge enthalten.
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Supremum: Das Supremum der Menge ergibt sich aus der Kombination \(2 (-1)^{m+1}\) mit \(m\) ungerade, und \(n = 1\) für den maximalen Wert von \(\frac{3}{n}\), da hier \(2 + 3 = 5\). Da es Elemente in der Nähe von \(5\), aber nicht größer als \(5\) gibt, ist \(5\) das Supremum der Menge. Da aber \(5\) selbst nicht erreicht wird (es gibt kein \(n, m\) sodass \(2(-1)^{m+1} + \frac{3}{n}=5\)) ist, handelt es sich nicht um ein Maximum.
Sup(B) = 5
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Infimum: Das Infimum der Menge wird durch \(-2\), die direkt enthaltene Zahl, und durch den niedrigsten Wert, den \(2 (-1)^{m+1} + \frac{3}{n}\) annehmen kann, bestimmt. Da \(2 (-1)^{m+1}\) bis zu \(-2\), und \(\frac{3}{n}\) positiv ist, ist der niedrigste Wert der gesamten Menge \(-2\).
Inf(B) = Min(B) = -2
Zusammenfassend:
- Für Menge A ist das Infimum \(0\) und zugleich das Minimum, während das Supremum unendlich ist, ohne ein Maximum zu sein.
- Für Menge B ist das Infimum \(-2\), welches auch das Minimum ist, und das Supremum ist \(5\), wobei es kein Maximum gibt, da das Supremum nicht erreicht wird.
