Gewinnschwelle berechnen (mit Umsatzfunktion und Gewinnfunktion)

Question

Aufgabe:

Die Gewinnfunktion lautet: G(x)=−15x2+570x−3255
Bei welcher Stückzahl wird die Gewinnschwelle erreicht, und welcher Preis muss dafür verlangt werden, wenn die Umsatzfunktion U(x)=590x−14,75x² 

Problem/Ansatz:

Die Gewinnschwelle ist ja der Moment, indem man weder Gewinn noch Verluste hat, d.h mathematisch der Teil indem die Funktion vom negativen ins positive übergeht.

Aber wie soll ich dass nun rechnen? Nullstelle ja wohl kaum? Was mache ich mit der Umsatzfunktion?

Brauche ich hier die Scheitelpunktform? Die wäre ja -15(x-19)²   + 2160 - theorethisch könnte ich doch auch dne Graphen anzeigen lassen und die Gewinnschwelle ablesen? Wie mache ich das mathematisch?

LG

Answer 1

Aber wie soll ich dass nun rechnen? Nullstelle ja wohl kaum?

Doch, genau das. Die linke positive Nullstelle einer Gewinnfunktion zeigt die Gewinnschwelle, die rechte die Gewinngrenze.

Gruß, Silvia

Comments

Anscheinend ist das Bestimmen der Nullstellen immer noch schwierig. Vgl. https://www.mathelounge.de/663310/mit-x-rechnen-grundlagen?show=664856#c664856

Answer 2

G(x) = -15x^2 + 570x - 3255 = 0

x^2  - 38·x + 217 = 0

Du berechnest die Nullstellen und damit die Gewinnzone über die pq-Formel.

x = 19 ± √(19^2 - 217) --> x = 7 ME (Gewinnschwelle) ∨ x = 31 ME (Gewinngrenze)

Comments

U(x) = 590·x - 14.75·x^2

p(x) = 590 - 14.75·x

p(7) = 590 - 14.75·7 = 486.75 GE

Es sollten 486.75 GE als Preis verlangt werden.

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Ich komme auf die 31, aber wie kommt man auf die 7?

Und warum ist der kleinere Wert die Schwelle und nicht die Grenze?

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Auf die 31 bist du gekommen durch 19 + 12

Auf die  7 kommst du durch 19 - 12

Und warum ist der kleinere Wert die Schwelle und nicht die Grenze?

Du hast diese Frage schon selbst beantwortet.

Die Gewinnschwelle ist ja der Moment, indem man weder Gewinn noch Verluste hat, d.h mathematisch der Teil indem die Funktion vom negativen ins positive übergeht.

 Bei der Gewinngrenze geht die Funktion vom positiven in den negativen Bereich.

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Ich war blöd, ich habe vergessen die Wurzel einzugeben und bin daher nicht auf die 7 gekommen.

Aber 7 und 31 sind ja beides positive Werte. D.h es geht doch bei beiden werten über von negativ ins positive.

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Beziehend auf die Umsatzfunktion: Steht in jedem Glied ein x kann ja ausgeklammert werden.

590x - 14,75x² wird also zu 590 - 14,75 x (laut der Mathecoach)

Aber was passiert mit den anderen x? Denn es steht ja am Ende nur ein x - aber wir haben ja sogar x²       und x - wohin sind die anderen?

Ich stehe komplett auf dem Schlauch gerade

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Beziehend auf die Umsatzfunktion: Steht in jedem Glied ein x kann ja ausgeklammert werden.

Das ist die Preisfunktion p(x)

Es gilt

U(x) = x * p(x)

oder eben

p(x) = U(x) / x

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Die gewinnschwelle ist die Nullstelle ab der wir anfangen Gewinn zu machen und die Gewinngrenze ist die Nullstelle bis zu der Wir Gewinn machen

Skizze

~plot~ -15x^2+570x-3255;[[0|39|-500|2500]] ~plot~

Du solltest sehen das wir bei x = 6 noch verlust machen und bei x = 8 einen Gewinn machen. Bei 7 ist also der Übergang von der Verlust- in die Gewinnzone und damit die Gewinnschwelle.

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D.h es geht doch bei beiden werten über von negativ ins positive.

Schau dir den Graphen zu G(x) an, dann siehst du, dass dem nicht so ist.

590x - 14,75x2 wird also zu 590 - 14,75 x (laut der Mathecoach)

Ja, denn die Umsatzfunktion/Erlösfunktion wird gebildet aus dem Preis p * der Absatzmenge x

Teilt man also die Umsatzfunktion durch x, erhält man die Preisfunktion. Die brauchst du, weil du die Frage beantworten sollst, welcher Preis verlangt werden soll, damit die Gewinnschwelle "7" erreicht wird. Also für x "7" einsetzen und auflösen.

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Also p(x) = 7 und nach x auflösen.

So hab ich das nicht gemacht. Warum nicht?

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Ja, Fehler meinerseits, hatte ich auch korrigiert, konnte die Änderung aber gerade erst laden, weil meine Internetverbindung ärgert.