Aussage: aussagenlogischen Verknüpfungen äquivalent

Question

Formen Sie für gegebene Aussagen A und B die beiden folgenden aussagenlogischen Verknüpfungen äquivalent so um, dass eine möglichst einfache Aussage entsteht:

i) (A∧B)∨(¬A∧B),

ii) (¬A ∧ ¬B) → B.

Was sind die Lösungen?

i) (A∧B)∨(¬A∧B) ⇔ (A∨¬A)∧B

ii) (¬A ∧ ¬B) → B ⇔ ¬(¬A∧¬B)∨B

Ist es richtig?

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Titel: Aussage: aussagenlogischen Verknüpfungen äquivalent

Stichworte: äquivalenz,aussagenlogik,verknüpfung

Formen Sie für gegebene Aussagen A und B die beiden folgenden aussagenlogischen Verknüpfungen äquivalent so um, dass eine möglichst einfache Aussage entsteht:

i) (A∧B)∨(¬A∧B),

ii) (¬A ∧ ¬B) → B.

Was sind die Lösungen?

i) (A∧B)∨(¬A∧B) ⇔ (A∨¬A)∧B

ii) (¬A ∧ ¬B) → B ⇔ ¬(¬A∧¬B)∨B

Ist es richtig?

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Die unteren Aussagen sehen nicht wirklich vereinfacht aus.

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(¬A ∧ ¬B) → B ⇔ A∧B∨B

so ist es noch einfacher. In den Aussagen gibt es zwei B,

deswegen A∧B∨B ⇔ A∨B so kann man auch sagen?

Answer 1

i)
(A ∨ ¬A) ist eine Tautologie. Daher scheint die Aussage schlichtweg von B abzuhängen.

ii) Es gilt wie bereits erkannt (A ⇒ B) ⇔ (¬A ∨ B).

Also ¬[(¬A ∧ ¬B)] ∨ B.

= ¬[(¬A ∧ ¬B)] ∨ B
= (¬(¬A) ∨ ¬(¬B)) ∨ B
= (A ∨ B) ∨ B
= ...