Beweisen das die Aussagen äquivalent bzw. gleichwertig sind

Question

Halloliebe Community,

ich habe folgenden Ausdruck:

(B⇒A)∧A und soll ohne Wahrheitstabelle beweisen das diese äquivalent zu B∧A ist.
Ich habe jetzt einiges probiert aber komme einfach nicht zu dieser Äquivalenz und bräuchte deshalb etwas Hilfe bei dem Beweis.

Danke vorab für eure Hilfe :)

Liebe Grüße

Answer 1

Aloha :)

Ich schreibe gerne \(\cdot\) für \(\land\) und \(+\) für \(\lor\), um dann mit Punkt-vor-Strichrechnung Klammern zu sparen. Der gegebene Ausdruck vereinfacht sich wie folgt:$$(B\Rightarrow A)\cdot A=(\overline B+A)\cdot A=\overline B\cdot A+A\cdot A=\overline B\cdot A+A=(\overline B+1)\cdot A=A$$Die gegebene Aussage kannst du also nicht zeigen, weil sie falsch ist.

Comments

Lieben Dank für deine schnelle Antwort.

Allerdings verstehe ich die letzten Schritt nicht ganz, bzw. verstehe ich nicht wo die 1 herkommt.

Könntest du mir das auch bitte erklären?

Liebe Grüße :)

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Ich habe \(A\) "ausgeklammert". Für die logischen Operatoren gilt das Distributivgesetz:

$$a\land(b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)\;\text{bzw.}\; a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$

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Okay aber wo wird denn die 1 heraus gebildet :/

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Es gilt doch \(\text{true}\land A=A\) bzw. \(1\land A=1\) bzw. \(1\cdot A=1\):

$$\overline B\cdot A+A=\overline B\cdot A+1\cdot A=(\overline B+1)\cdot A$$