Etwas schwierigere Matrizengleichung nach X lösen

Question

Hi, hätte folgendes Problem mit der Aufgabe und bräuchte nun mal Hilfe!

Aufgabe:  Matrizengleichung nach X auflösen.

\( (A^{-1} *X)^{-1} = A*(B^{-2}*A)^{-1}\) 

Nun mein Ansatz wär nun mal folgender:

\( (A^{-1} *X)^{-1} = A*(B^{-2}*A)^{-1}\)       // Klammer auf linker Seite auflösen

\( X^{-1}*A = A*(B^{-2}*A)^{-1}\)             // \(*(B^{-2}*A)\)

\( X^{-1}*A*(B^{-2}*A) = A\)

Nun weiß ich nicht wie ich hier weiter vorgehen soll um auf

\( X = ... \)

zu kommen.

Vielen Dank im Voraus schon mal für alle Korrekturen/Verbesserungen!

Liebe Grüße!

Answer 1

Welche Regeln hast du angewendet, um die Klammer auf der linken Seite aufzulösen?

Comments

\( (A*B)^{T} = B^{T} * A^{T} \)und \( (A^{T})^{T} = A \) nur frage ich mich ob man das hier darf oder ob man von Anfang bereits einen anderen Weg einschlagen sollte.
Danke für deine Antwort schon mal.

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Vergiss die Rückfrage, ich habe auf einem anderen Weg den selben Zwischenstand erhalten.

Multipliziere deine letzte Gleichung von links her mit X,

Multipliziere die sich ergebende Gleichung von rechts mit \(A^{-1}\).

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Auf deinen Kommentar: Mein Weg war, die Ausgangsgleichung von links mit \(A^{-1}X\) zu multiplizieren, dann von links mit A zu multiplizieren und dann so wie du von rechts mit \((B^{-2}A)\).

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\( X^{-1}*A*(B^{-2}*A) = A \)          // *X von links

\( A*(B^{-2}*A) = X*A \)                 // \(*A^{-1}\) von rechts

\( A*(B^{-2}*A) * A^{-1} = X \) 

daraus folgt:

\( X = A*(B^{-2}*A) * A^{-1} \)      // vertauschen von A mit (...)

\( X = (B^{-2}*A) *A* A^{-1} \)

\( X = (B^{-2}*A)\)

Passt das nun so?
Herzlichen Dank für deine Hilfe!

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// vertauschen von A mit (...)

hat mich kurz zum Grübeln gebracht.

Du meintest sicher: Assoziativgesetz anwenden.

Ja, das passt so.