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Bijektive Abbildung \(f : \text{Mat}(m \times n, S) \rightarrow S^{m\cdot n}\)
Um eine bijektive Abbildung \(f : \text{Mat}(m \times n, S) \rightarrow S^{m\cdot n}\) zu konstruieren, betrachten wir, dass \(\text{Mat}(m \times n, S)\) die Menge aller \(m \times n\)-Matrizen mit Einträgen aus der Menge \(S\) ist und \(S^{m\cdot n}\) die Menge aller Tupel der Länge \(m\cdot n\) mit Elementen aus \(S\) ist. Eine Matrix \(A \in \text{Mat}(m \times n, S)\) kann als ein zweidimensionales Array gesehen werden, während ein Tupel ein eindimensionales Array ist.
Eine natürliche bijektive Abbildung \(f\) kann wie folgt definiert werden: für jede Matrix \(A\), die Element in \(\text{Mat}(m \times n, S)\) ist, ordnen wir jedem Eintrag in \(A\) genau einen Eintrag in einem Tupel zu, indem wir die Matrix Zeile für Zeile ablaufen. Diese Zuordnung ist injektiv, da verschiedene Matrizen zu verschiedenen Tupeln führen, und surjektiv, da jedes Tupel der Länge \(m\cdot n\) durch eine Matrix \(A\) mit Einträgen aus \(S\) dargestellt werden kann.
Konkret, wenn \(A\) eine Matrix mit den Einträgen \(a_{ij}\) (\(i\) für die Zeile, \(j\) für die Spalte) ist, ordnen wir jedem \(a_{ij}\) einen Eintrag in einem Tupel \(t\) zu, wobei die Reihenfolge der Einträge in \(t\) durch den Durchlauf der Matrix von der ersten bis zur letzten Zeile und in jeder Zeile von links nach rechts festgelegt ist.
Anzahl der Elemente von \(\text{Mat}(m \times n, S)\)
Ist \(S\) eine endliche Menge mit \(|S|\) Elementen, so hat jede Position in einer \(m \times n\)-Matrix genau \(|S|\) Auswahlmöglichkeiten für ihre Besetzung. Da es \(m \cdot n\) solcher Positionen gibt und jede Position unabhängig von der anderen besetzt werden kann, ist die Gesamtanzahl der möglichen Matrizen \(|S|^{m \cdot n}\).
Basis des S-Vektorraums \(\text{Mat}(m \times n, S)\)
Wenn \(S\) ein Körper ist, wird \(\text{Mat}(m \times n, S)\) zu einem Vektorraum über \(S\). Eine natürliche Basis dieses Vektorraums besteht aus den Matrizen, in denen genau ein Eintrag 1 ist (der Eintrag des Körpers \(S\)) und alle anderen 0 sind. Für jede Position \((i, j)\) in einer \(m \times n\)-Matrix hat man eine Basis-Matrix, die an der Position \((i, j)\) eine 1 hat und sonst überall 0. Da es \(m \times n\) solcher Positionen gibt, besteht die Basis aus \(m \cdot n\) solchen Einheitsmatrizen, und die Dimension des Vektorraums ist daher \(m \cdot n\).
