Sei A eine beliebige nichtleere Menge und f: A -> A, f(f(x)) = x , ∀x ∈ A. Behauptung: f ist bijektiv.

Question

Sei A eine beliebige nichtleere Menge. Sei f: A -> A eine Funktion mit der folgenden Eigenschaft:

f(f(x) = x , ∀x ∈ A.

zeigen Sie, dass f bijektiv ist.

wie kann man das zeigen?

Answer 1

Du meinst das hier?

 f(f(x)) = x , ∀x ∈ A.

Wenn man weiss, dass eine Funktion genau dann umkehrbar ist, wenn sie bijektiv ist, muss man hier nicht viel machen.

Man erkennt an 

 f(f(x)) = x , ∀x ∈ A.

dass f selbstinvers ist. Also  f = f^{-1} 

D.h. man kann die Inverse von f angeben und weiss daher, dass f bijektiv ist. qed.

Comments

was ist die inverse von f?

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hier ist das f selbst.

In der Wikipedia wird sie Umkehrfunktion genannt. vgl: https://de.wikipedia.org/wiki/Bijektive_Funktion#Eigenschaften