Eigenschaften für die Relation

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Mengen A={1,5,7,8} und B={1,2,3,4,5,9}.

Kreuzen Sie genau die Eigenschaft/Eigenschaften an, die für die Relation

        {[1,1],[5,1],[7,9],[8,3]}

zwischen A und B zutrifft/zutreffen.

Problem/Ansatz:

Die Relation ist eine Abbildung.

Die Relation ist eine injektive Abbildung.

Die Relation ist eine surjektive Abbildung.

Die Relation ist eine bijektive Abbildung.

Keine der genannten Eigenschaften triff zu.

Comments

Hast du die Definitionen der verwendeten Fachbegriffe vor dir liegen?

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Nein, leider nicht.

Habe mir das in der Vorlesung nicht notiert.

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Ändere das in Zukunft, sonst hast du schon nach kurzer Zeit keine Chance mehr, etwas zu verstehen. Ich schreib dir mal die Definitionen auf. Ich melde mich dann wieder.

Answer 1

Definition 1 (Relation). Eine Relation zwischen zwei Mengen A und B ist eine Menge von Paaren (a,b), wobei a ∈ A und b ∈ B ist.

Definition 2 (Charakterisierung von Relationen). Eine Relation zwischen zwei Mengen A und B heißt

• linkstotal, wenn es zu jedem a ∈ A ein Paar in der Relation gibt, das a auf der linken Seite hat
• rechtstotal, wenn es zu jedem b ∈ B ein Paar in der Relation gibt, das b auf der rechten Seite hat
• linkseindeutig, wenn jedes b ∈ B höchstens in einem Paar auf der rechten Seite auftritt (wenn die linke Seite also durch die rechte Seite eindeutig bestimmt ist)
• rechtseindeutig, wenn jedes a ∈ A höchstens in einem Paar auf der linken Seite auftritt

Beispiel. Deine Relation ist linkstotal, weil jede Zahl aus A (d.h. 1,5,7,8) in mindestens einem Paar auf der linken Seite vorkommt. Sie ist auch rechtseindeutig, weil keine Zahl aus A mehr als ein mal auf linken Seite vorkommt.

Definition 3 (Abbildung). Eine linkstotale, rechtseindeutige Relation heißt Abbildung.

Definition 4 (injektive Abbildung). Eine Abbildung heißt injektiv, wenn sie linkseindeutig ist.

Definition 5 (surjektive Abbildung). Eine Abbildung heißt surjektiv, wenn sie rechtstotal ist.

Definition 6 (bijektive Abbildung). Eine Abbildung heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surijektiv ist.

Answer 2

Aloha :)

Abbildung\(\quad\checkmark\)

Eine Abbildung ordnet jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Bildmenge zu. Das ist hier der Fall. Bildlich kannst du dir vorstellen, dass von jedem Element der Definitionsmenge genau 1 Pfeil zu einem Element der Wertemenge führt.

injektiv\(\quad:(\)

"injektiv" bedeutet, dass jedes Element der Bildmenge höchstens 1-mal erreicht wird. Das trifft hier nicht zu, denn \(1\to1\) und \(5\to1\). Die \(1\) der Bildmenge wird also 2-mal erreicht.

surjektiv\(\quad:(\)

"surjektiv" bedeutet, dass jedes Element der Bildmenge mindestens 1-mal erreicht wird. Das trifft hier nicht zu, denn z.B. die \(2\) der Bildmenge wird nicht erreicht.

bijektiv\(\quad:(\)

"bijektiv" bedeutet, dass jedes Element der Bildmenge genau 1-mal erreicht wird. Eine bijektive Abbildung muss also injektiv und surjektiv sein. Diese Abbildung hier ist nichts von beiden.

Comments

Dankeschön :)