Zeigen, dass A+B := { a+b | a ∈ A, b ∈ B} nicht abgeschlossen ist

Question

ich hänge an der Aufgabe, zu beweisen, dass A+B := {a+b | a ∈ A, b ∈ B} nicht abgeschlossen ist, wobei A, B ⊆ ℝ^n und

A := ℝ × {0} und B := { (x, y) ∈ ℝ^2 | x*y = 1 }.

Ich habe es bereits versucht, über die Nicht-Offenheit von ℝ\A+B zu zeigen, bin aber nicht wirklich weit gekommen. Ich würde mich über spontane Hilfe freuen!

Vielen Dank!

Answer 1

Identifiziere die Punkte aus ℝ², die nicht Element von A+B sind.

Zeige dass mindestens einer davon Häufungspunkt von A+B ist.

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

Ich verstehe den Ansatz sehr gut, tue mich nur mit der Wahl eines solchen Punktes schwer. (0,0) ist meines Erachtens ein Punkt, der kein Element von A+B ist. Wenn ich nun das x in (x,0) ∈ A gegen unendlich laufen lasse, erhalte ich doch, dass (0,0) ein Häufungspunkt von A+B ist, da das y der Elemente der Menge A+B für immer kleinere x gegen 0 läuft?

Oder ist das der völlig falsche Weg?

---

dass (0,0) ein Häufungspunkt von A+B ist

Das ist richtig. Und (0,0) ∉ A+B.