Injektivität, Surjektivität, Bijektivität f(x) = 1/x?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei f : R \ {0} → R \ {0} mit x -> 1/x (also f(x) = 1/x). Zeige ob die Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.

Problem/Ansatz:

1. Also für die Injektivtät hab ich bereits schonmal folgenden Ansatz:

Seien x,y ∈ R \ {0} mit f(x) = f(y):

=> 1/x = 1/y => x = y

damit wäre die Abbildung ja schonmal injektiv. Wäre dies korrekt?

2. Nun bin ich mir nicht sicher wie ich die Surjektivtät anpacken soll.

Aus der Definition der Surjektivtät weiß ich (angewendet auf diese Funktion):

∀ y ∈ R \ {0} ∃ x ∈  R \ {0}: f(x) = y (Dies müsste ja die Bedingung sein damit die Funktion surjektiv wäre)

Da dies ja zutrifft wäre meine Frage wie ich nun weiter argumentieren müsste oder ob dies schon ausrechend als Begründung für die Surjektivität wäre.

Würde mich über Hilfe sehr freuen.

Answer 1

Da dies ja zutrifft wäre meine Frage wie ich nun weiter argumentieren müsste oder ob dies schon ausrechend als Begründung für die Surjektivität wäre.

Um zu sehen, ob es für alle y aus deiner Menge auch mindestens ein x aus der Definitionsmenge gibt, musst du wissen, was x ist, d.h. du stellst einfach mal nach x um und interpretierst dein Ergebnis.

Sei also \(y \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\) beliebig und setze \(y=\frac{1}{x} \) (meine Behauptung). Dann ist \(y=\frac{1}{x} \Leftrightarrow x=\frac{1}{y} \). Da \(y\neq 0\), gibt es für alle \(y\in \mathbb{R}\setminus\{0\}\) ein \( x \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\) mit f(x)=y.

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Wäre mein Ansatz für die Injektivität korrekt?

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Ja, die sieht gut aus.