Die Umkehrung einer Allaussage ist eine Existenzaussage. Wenn nicht für alle Elemente (hier Zahlen) eine bestimmte Eigenschaft gilt, dann kann man ja genauso sagen, dass es (mindestens) eines gibt, für das die Eigenschaft nicht gilt.
\(\neg X\): Nicht für alle reellen Zahlen \(x\) gilt: \(x^2 \in \mathbb N\), also: Es gibt mindestens eine reelle Zahl \(y\), fürdie \(x^2\notin \mathbb N\).
Generell gilt für eine Aussage \(P(x)\):
$$\neg(\forall x: P(x)) \iff \exists x: \neg P(x)$$
und
$$\neg(\exists x: P(x)) \iff \forall x: \neg P(x) \quad \bigg[\iff \nexists x: P(x)\bigg]$$
Mach dir die Verneinung einer Existenzaussage am besten selber klar.
Noch Fragen?
