Widerspruchsbeweis für "wenn x² - 1 nicht durch 3 teilbar ist, so ist x durch 3 teilbar"

Question

Aufgabe:

Sei x ∈ Z. Zeigen Sie mit einem indirekten Beweis: Ist x² −1 nicht durch 3 teilbar, so ist x durch 3 teilbar.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz hier wäre jetzt erstmal zu zeigen, dass aus der Negation von B die Negation von A folgt.

Also "Wenn x nicht durch 3 teilbar ist folgt daraus, dass x² - 1 durch 3 teilbar ist.

Aber wie genau man das jetzt mathematisch beweist verstehe ich nicht.

Answer 1

Wenn x nicht durch 3 teilbar ist

dann lässt als Schlussfolgerung aus dieser Gegenannahme x den Rest 1 oder den Rest 2 bei Teilung durch 3. Welchen Rest würde in diesen beiden Fällen x²-1 lassen?

Comments

Es würde immer den Rest 2 ergeben.

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Nein. Zweimal darfst du noch raten.

Answer 2

\( x^2-1 = (x-1)(x+1) \)

Du hast 3 Zahlen x-1, x, x+1, von denen ist genau 1 durch 3 teilbar.

Comments

Selbstverständlich ist das der Weg für den ganz einfachen direkten Beweis, ich würde es lieber auch so machen.
Leider wird vom Fragesteller der umständlichere Weg eines indirekten Beweises gefordert. (Damit möchte ich nicht in Abrede stellen, dass die genannte Tatsache der drei aufeinanderfolgenden Zahlen auch für einen indirekten Beweis prinzipiell brauchbar sein kann.)

PS: Die missverständliche Formulierung

von denen ist genau 1 durch 3 teilbar.

könnte für Verwirrung sorgen.

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Das Problem ist, dass "ein" / "eine" im Deutschen sowohl Zahlwort, als auch unbestimmter Artikel sein kann (weswegen die Lutherbibel den ersten Fall auch immer in Fettdruck schreibt). Ich benutze dafür lieber die Schreibweise "1".