||f||=max{ |sup f|, inf f|} zeigen

Question

Zu zeigen: \(\|f\|_\infty =\max \{ |\sup_{D} f|,|\inf_{D} f|\}\) mit  \(f: D_{\subset \mathbb{C}} \to \mathbb{C}\) als beschränkte Funktion. 

P.S.: \(||f||_\infty := \sup \limits_{x\in D}|f(x)|\)

Mein Ansatz:
ich habe versucht über die Definition der Betragsfunktion eine Fallunterscheidung zu erzeugen:$$||f||_\infty := \sup \limits_{x\in D}|f(x)|=\begin{cases} \sup \limits_{x\in D}f(x) \quad , \, f(x)\geq 0 \\ -\inf\limits_{x\in D}f(x)\, \, ,  f(x)<0\end{cases}$$ Wie legitimiere ich es jetzt das Maximum der Beträge davon zu nehmen und das als \(||f||_\infty\) zu deklarieren?

Comments

Ich bemerke gerade, dass es eine Abbild von den komplexen Zahlen in die komplexen Zahlen ist, damit ist der Ansatz hinfällig.

Answer 1

Fallunterscheidung hört sich schon gut an, aber da muss man auch tatsächlich zwei oder mehr Fälle unterscheiden.

Fall 1: \(|\sup f| = |\inf f|\), dann ist man fertig.

Fälle 2 und 3: \(|\sup f| \stackrel{<}{>} |\inf f|\). Du willst jetzt zeigen, dass das größere von beiden (je nach Fall sup oder inf) das Supremum von \(|f|\) ist, aber das weißt du ja selbst. Um aber zu zeigen, dass etwas (nennen wir es \(T\)) ein Supremum ist, zeigt man zwei einfache Eigenschaften und ist fertig, nach den Axiomen eins Supremums:

1. \(T\) ist eine obere Schranke: Für alle \(x\in D\) gilt \(|f(x)|\leq T\). Das sollte recht klar sein nach Definition von \(T\).

2. Es existiert keine kleinere obere Schranke: Für alle \(t<T\) existiert ein \(x\in D\) mit \(|f(x)|>t\). Da musst du jetzt gucken, ob \(T\) in diesem Fall das inf f oder das sup f war, aber in jedem der beiden Fälle führst du die Aussage darauf zurück, dass sup f ein Supremum von f und inf f ein Supremum von -f ist.