Beweis für beliebig Mengen A und B.

Question

Aufgabe:

Zeige wenn A ⊆ B gilt, dass die Potenzmenge von A Teilmenge von der Potenzmenge von B ist.

Problem/Ansatz:

Da ja A ⊆ B gilt kann man folgern: Für alle x muss gelten, dass wenn x ∈ A ist, auch x ∈ B sein muss (Definition Teilmenge).

Wie könnte ich nun auf die Potenzmenge schließen. Mir ist bekannt, dass die Potenzmenge die Menge aller Teilmengen einer Menge darstellt, allerdings bin ich mir nicht sicher, wie ich schriftlich weiter argumentieren könnte.

Freue mich über jede Hilfe.

Answer 1

dass die Potenzmenge von A Teilmenge von der Potenzmenge von B ist

Sei dazu M ∈ Potenzmenge von A

==>         M ⊆ A

Wegen  A ⊆ B und der Transitivität der

Teilmengenrelation gilt also auch  M ⊆ B

==>  M ∈ Potenzmenge von B    q.e.d.

Comments

Da ja A ⊆ B gilt kann man folgern: Für alle x muss gelten, dass wenn x ∈ A ist, auch x ∈ B sein muss (Definition Teilmenge). 

Könnte ich nicht aus diesem Teil schon darauf schließen, dass wenn x ∈ A ist, auch x automatisch Element von der Potenzmenge von A ist. Und da ja A ⊆ B gilt , auch direkt das x auch in der Potenzmenge von B sein muss.

==>  Potenzmenge von A ist Teilmenge von der Potenzmenge von B.

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dass wenn x ∈ A ist, auch x automatisch Element von der Potenzmenge von A ist.

Das kann ja nicht sein. Die Elemente von A sind keine Elemente der

Potenzmenge, denn deren Elemente sind ja selber Mengen.

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Also müsste ich im zweiten Teil das "Element" einfach durch "Teilmenge" ersetzen. Würde es dann stimmen? Sprich: wenn x ∈ A ist und x ∈ B ist, ist x Teilmenge von der Potenzmenge von A und von der Potenzmenge von B.