Graph Eigenschaften ablesen, Funktionsgleichung aufstellen

Question

Aufgabe:

Wichtige Eigenschaften ablesen und Funktionsgleichung bestimmen. Überlegen Sie, welchen Grad die Funktion mindestens haben muss.

Problem/Ansatz:

Woran lese ich das ab? Wie weiß ich was was ist?

Answer 1

Überlegen Sie, welchen Grad die Funktion mindestens haben muss.

Woran lese ich das ab? 

Anzahl Extremalstellen, Anzahl Wendepunkte, Globalverlauf, Symmetrie

Wie weiß ich was was ist?

Beginne mit Grad 1: Geradengleichungen

Grad 2: Parabelgleichungen. Graph hat eine Symmetrieachse, die durch den Scheitelpunkt verläuft.

Grad 3: Graph hat einen Wendepunkt als Symmetriezentrum.

usw. 

Answer 2

Aloha :)

Aus der linken Abbildung kann man folgende Eigenschaften der Funktion \(f(x)\) ablesen:$$f(0)=0\;;\;f(1)=\frac{1}{2}\;;\;f(2)=2\;;\;f'(2)=1$$

Um diese 4 Informationen verarbeiten zu können, benötigen wir 4 Unbekannte, also:$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$Auf \(0=f(0)=d\) folgt sofort \(d=0\), was die Funktion vereinfacht:$$f(x)=ax^3+bx^2+cx$$Um die letzte Eigenschaft verarbeiten zu können, benötigen wir noch die Ableitung:$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$Jetzt verarbeiten wir die verbliebenen 3 Eigenschaften:$$0,5=f(1)=a+b+c\quad\Leftrightarrow\quad 2a+2b+2c=1$$$$2=f(2)=8a+4b+2c\quad\Leftrightarrow\quad 4a+2b+c=1$$$$1=f'(2)=12a+4b+c\quad\Leftrightarrow\quad12a+4b+c=1$$Dieses Gleichungssystem wird gelöst durch:$$a=-\frac{1}{2}\;\;;\;\;b=2\;\;;\;\;c=-1$$Das führt uns auf die Funktionsgleichung:$$f(x)=-\frac{1}{2}x^3+2x^2-x$$

~plot~ -0,5x^3+2x^2-x ; [[-1|4|-1|3]] ~plot~