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Darstellung des Einheitskreises als Durchschnitt unendlich vieler Halbebenen
Der Einheitskreis in der Ebene \( \mathbb{R}^2 \) wird durch die Gleichung \( x_1^2 + x_2^2 \leq 1 \) definiert. Um diesen Einheitskreis als Durchschnitt unendlich vieler Halbebenen darzustellen, betrachten wir, wie eine Halbebene geometrisch interpretiert werden kann.
Eine Halbebene im \( \mathbb{R}^2 \) kann durch eine lineare Ungleichung der Form \( ax_1 + bx_2 + c \leq 0 \) dargestellt werden, wobei \( a \), \( b \) und \( c \) reelle Zahlen sind und \( (x_1, x_2) \) die Punkte in \( \mathbb{R}^2 \) sind.
Der Schlüssel zum Verstehen, wie der Einheitskreis durch Halbebenen approximiert werden kann, liegt darin, zu erkennen, dass jede Gerade, die tangential zum Einheitskreis verläuft, eine Grenze einer Halbebene darstellt, die einen Teil des Außenbereichs des Einheitskreises einschließt. Indem wir unendlich viele solcher tangentialen Geraden – und somit Halbebenen – verwenden, die den Einheitskreis aus allen Richtungen berühren, können wir den Einheitskreis als ihren Durchschnitt darstellen.
Um die Gleichung einer solchen Tangente zu finden, beachte, dass eine Gerade, die den Einheitskreis tangential berührt, senkrecht zum Radius des Kreises im Berührungspunkt stehen muss. Für einen Punkt auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten \( (\cos(\theta), \sin(\theta)) \) (wobei \( \theta \) der Winkel zwischen dem positiven Teil der \( x_1 \)-Achse und dem Radius ist), ist die Steigung der Geraden, die durch diesen Punkt geht und senkrecht zum Radius steht, \( -\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \) (also der Kehrwert des negativen Gradienten des Radius).
Die allgemeine Form einer Geraden im \( \mathbb{R}^2 \) ist \( ax_1 + bx_2 + c = 0 \), also die Gleichung einer solchen Tangente, die am Punkt \( (\cos(\theta), \sin(\theta)) \) berührt, wäre:
\(
-\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}x_1 + x_2 = k
\)
wobei \( k \) eine Konstante ist. Durch Einsetzen des Tangentialpunktes in die Gleichung können wir \( k \) bestimmen:
\(
-\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\cos(\theta) + \sin(\theta) = k
\)
Dies vereinfacht zu \( k = \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \), da \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \) für alle \( \theta \) gilt. Also haben die Tangenten die Form:
\(
-\cos(\theta)x_1 + \sin(\theta)x_2 = 1
\)
Um nun den Einheitskreis als Durchschnitt dieser Halbebenen zu definieren, betrachten wir alle möglichen Winkel \( \theta \) von \( 0 \) bis \( 2\pi \) und erhalten die Familie von Ungleichungen:
\(
-\cos(\theta)x_1 + \sin(\theta)x_2 \leq 1
\)
Jede dieser Ungleichungen definiert eine Halbebene und der Einheitskreis ist der Durchschnitt all dieser Halbebenen. Dabei ist zu beachten, dass für jede Richtung \( \theta \) eine solche Halbebene existiert und da \( \theta \) kontinuierlich von \( 0 \) bis \( 2\pi \) variiert, gibt es unendlich viele solcher Halbebenen, deren Durchschnitt genau der Einheitskreis ist.
