Wie berechne ich die kleinste Periode von f?

Question

Heyy, und zwar bräuchte ich Hilfe bei der Aufgabe.

Kann mir jemand sagen wie man Aufgabe b.) zu berechnen hat ?Gegeben sei die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x)=\sin ^{2}(x) \)
(a) Zeigen Sie, dass \( f(x)=\frac{1-\cos (2 x)}{2} \)
(b) Finden Sie die kleinste Periode von \( f \)

Comments

Was soll das sein "kleinste Periode"?

Die Periode ist 2 Pi, oder nicht?

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Die kleinste Periode von cos(2x) und damit auch von der betrachteten Funktion ist π.

Answer 1

Eine Winkelfunktion hat eine Periode (keine kleinste).

Für x=0 und x=π ist sin²(x)=0. Alle Werte dazwischen (wie auch davor und danach) sind positiv. Also ist die Periode π.

Comments

Eine Zahl p heißt Periode einer Funktion f, wenn für alle x gilt

f(x)=f(x+p)

Da z.B. für alle x gilt

sin(x)=sin(x+8π), hat die Funktion sin(x) unter anderem die Periode 8π.

Sie hat auch die Periode 22π und die Periode 4π.

Die kleinste mögliche Periode ist 2π.

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(bezieht sich auf das Beispiel f(x)=sin(x), nicht auf die aktuell besprochene Aufgabe)

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Hier der Graph von f(x)=sin²(x):

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Ok danke dir und kann man das so wie du es aufgeschrieben hast es als Rechenweg betrachten ?

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Das ist eine Argumentationskette. Muss es denn unbedingt eine Rechnung sein?

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Schön wäre es, damit ich weiß wie du drauf gekommen bist .. :)

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Ich bin so darauf gekommen:

Zuerst habe ich eine Wertetabelle für f(x)=sin²(x) angelegt und den Graphen damit gezeichnet. Am Graphen habe ich die Periode erkannt. Dann habe ich mir überlegt, wie ich das, was ich aus dem Graphen ablesen konnte, in Worte kleiden konnte.