Trigonometrische Funktionen: kleinste Periode

Question

Aufgabe:

f1(x) = |sin(x)|
f2(x) = \( e^{3jx} \)
f3(x) = sin(\( x^{2} \) )
f4(x) = sin(x) + cos(3x)
f5(x) = sin(\( e^{x} \) )
f6(x) = \( e^{sin(x)} \)
f7(x) = sin(|x|)

Problem/Ansatz:

Hallo Leute!

Die Aufgabe ist die oben genannte Funktionen zu bestimmen, ob sie periodisch sind oder nicht und wenn ja was die kleinste Periode ist.

Nun, habe ich die Formel gefunden \( \frac{2π}{b} \) und wenn ich diese auf sin(2x) anwende bekomme ich T = \( \frac{2π}{2} \) = π was richtig ist und ist auch periodisch, wobei ich nicht begründen kann warum sie periodisch ist. Gibt es da eine Regel wie ich das bestimmen kann?

f2(x) = \( e^{3jx} \) kann ich als cos(3x)+ j*sin(3x) ausdrücken. Periodisch, ja, nein? Wenn ja, wäre die kleinste Periode T =\( \frac{ 2π}{3} \) ? Was ist die Periode dann bei f4(x) wo x unterschiedlich ist? Und wie unterscheiden sich f1(x) und f7(x)?

Fragen über Fragen. Ich freue mich über jede Hilfe.

Ja, ich kann sie jederzeit plotten, aber bei einer Prüfung geht das ja nicht. Erlaubt sind Berechnungen, Argumente und aussagekräftige Skizzen.

Liebe Grüße! :)

Answer 1

Ja, ich kann sie jederzeit plotten, aber bei einer Prüfung geht das ja nicht. Erlaubt sind Berechnungen, Argumente und aussagekräftige Skizzen.

Du bist jetzt aber nicht in einer Prüfung. Und ich sage immer zu Hause ist alles erlaubt was dir hilft solche Aufgaben zu verstehen. Und du solltest ja ohnehin wissen wie die meisten Funktionen aussehen. Und wenn nicht hilft dir das Plotten evtl. sich solche Grapfen einzuprägen.

SIN(x) hat eine Periode von 2pi

SIN(2x) hat nur noch eine Periode von pi, weil diese Funktion aus SIN(x) durch Stauchung mit dem Faktor 2 in x-Richtung hervorgeht. Eine Reine Stauchung ändert ja nichts daran ob eine Funktion periodisch ist. Sie verändert ja nur die Periodenlänge.

cos(3x)+ j*sin(3x) ist natürlich auch periodisch weil sowohl SIN(3x) als auch COS(3x) periodisch sind. Periodenlänge ist hier 2/3 pi.

f4(x) ist periodisch weil beide Summanden periodisch sind. SIN(x) hat eine Periode von 2pi und COS(3x) hat eine Periode von2/3 pi. Damit hat die Summe eine Periode von 2 pi.