Primitive Periode von e^{ix}

Question

Aufgabe:

\( H(jv) = \dfrac{q· e^{\frac{j·v·t}{^4}}}{s· e^{j·v·t}} \)

Bestimmen sie die primitive Periode p der Funktion H(jv) sodass gilt:

\( H(jv + jp) = H(jv) \)

Problem/Ansatz:

Leider habe ich noch überhaupt keinen Ansatz. Die Exponentialfunktion zu zerlegen in cosinus- und Sinusfunktionen bringt mich irgendwie nicht weiter. Ein Vorfaktor vor einer Sinus-und Cosinus-Funktion ändert nichts an der Periodizität der Funktion sin(x) bzw. cos(x) von 2 π.

Die Exponentialfunktion \( e^{i·x} \) ist ja ebenfalls periodisch mit 2 π.

Bei einer Addition würde die primitive Periode doch dem kgV der beiden primitiven Perioden entsprechen aber wie sieht es bei einer Division aus?

Wäre die primitive Periode \( p = \frac{8 π }{t} \) ?

Answer 1

Hallo,

mir ist nicht ganz klar, was bei Deiner Funktion die Variable ist, und was nicht. Ist \(j\) die imaginäre Einheit so wie anscheinend das \(i\) in der Überschrift? Daher eine allgemeine Antwort:

Eine Funktion der Art $$f(x)= a \cdot e^{i\cdot b\cdot x} $$ mit $$a,b \in \mathbb R, \space i^2=-1$$ ist in Abhängigkeit von \(n \in \mathbb Z\) zu sich selbst identisch $$f(x)= a \cdot e^{i\cdot b\cdot x} = a \cdot e^{i\cdot (b\cdot x + 2\pi n)} $$Diesen Ausdruck im Exponenten kann man etwas umwandeln$$i\cdot (b\cdot x + 2\pi n) = i\cdot b\cdot \left( x + \frac{2\pi n}{b} \right)$$und folglich ist$$f\left(x +\frac{2\pi}{b}n  \right)= f(x)$$mit der Periode \(p= 2\pi/b\).

In Deinem Fall kann man die Funktion vereinfachen - dazu substituiere ich zunächst \(j·v·t = i \cdot b \cdot x\) da ich nicht weiß, welches die freie Variable \(x\) ist: $$H(j \cdot v) = \frac{q· e^{\frac{j·v·t}{^4}}}{s· e^{j·v·t}} \\ H(x) = \frac{q· e^{\frac{ i \cdot b \cdot x}{^4}}}{s· e^{ i \cdot b \cdot x}} = \frac qs \cdot e^{-\frac 34 i \cdot b \cdot x} \implies p = \frac{2 \pi }{\frac 34 b} = \frac{8 \pi}{ 3 b}$$

Wäre die primitive Periode \(p = \frac {8 \pi}t\) ?

Wenn \(j = i\) und \(v=x\) ist, dann wäre \(p = \frac{8 \pi}{3 t}\) und \(H(v) = H(v + p)\)

Comments

Hallo Werner,
vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Entschuldige, ich habe j und i wieder einmal durcheinander geworfen. J bezeichnet die imaginäre Einheit und die Variable ist v.

Ich verstehe. Wie wäre aber denn dann die primitive Periode wenn die Funktion negative Exponenten und die Nenner um 1- erweitert werden würde?
Der negative Exponent dürfte ja aufgrund der Periodizität von 2 π keinen Einfluss auf die primitive Periode haben.

H(jv) = \( \frac{q e^{-\frac{jvt}{4}}}{1- s e^{- j v t}} \)

---

J bezeichnet die imaginäre Einheit und die Variable ist v.

.. dann heißt es nicht \(H(jv)\) sondern \(H(v)\). Die Funktion \(H\) ist von \(v\) abhängig und nicht von \(j\), zumal \(j\) mit \(j^2=-1\) eine Konstante ist und keine freie Variable.

Wie wäre aber denn dann die primitive Periode wenn die Funktion negative Exponenten und die Nenner um 1- erweitert werden würde?

.. dann wird's schwierig. Eine solche Periode \(p\) muss die Gleichung \(H(v+p) = H(v)\) erfüllen. Einsetzen liefert: $$\frac{q e^{-\frac 14{jt(v+p)}}}{1- s e^{- jt (v+p)}} = \frac{q e^{-\frac 14 {jvt}}}{1- s e^{- j v t}} $$Ich würde mal mutig behaupten, es existiert kein konstantes \(p\in \mathbb C\), welches diese Bedingung für alle \(v\) erfüllt.