zeigen Sie, dass f eine primitive Periode hat

Question

Es sei f :D --> R eine periodische und stetige Funktion. Nehmen Sie an, dass f nicht konstant ist, und zeigen Sie, dass
f eine primitive Periode hat

Answer 1

Hi, nehme an, dass die Funktion keine primitive Periode hat. Somit gilt für alle \(x \in D\), dass du ein beliebig kleines\(\epsilon >0\) findest, sodass \(f(x)=f(x- \epsilon) =f(x+\epsilon) \) gilt. Was folgt daraus?

Comments

- eps = eps?

was ich weiss, dass allgemein versucht man einfach die Aufgabe auf eine bekannte Periode zurückzuführen (bei Sinus..) Ich kenne keine periodische Funktionen, die nichts mit Sinus, Kosinus oder Tangens zu tun haben

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Das \(f(x- \epsilon)\) braucht man gar nicht, sorry.

Der Sinus ist periodisch, korrekt. Aber hier kannst du nicht mit dem Sinus arbeiten. In Gedanken habe ich auch an den Sinus gedacht, allerdings muss man sich irgendeine periodische Funktion "vorstellen".

Beginne so:

Es gilt: \(\forall n \in \mathbb{N} \ \exists \ \delta>0 \ : \ f(x)=f(x+\frac{\delta}{n})\)

Wichtig ist, dass wir hierbei ein beliebig kleines \(\delta\) finden mit dieser Eigenschaft!

Da \(f\) stetig ist, gilt: \( \vert f(x)-f(y) \vert < \frac{\epsilon}{n}\) für ein beliebig kleines \(\epsilon\), wenn \( \vert x-y \vert <  \delta\) für \(\delta\) klein genug.

So folgt:

$$\overset{n-1}{\underset{k=0}{\sum}} \vert f(x+\frac{k \cdot \delta}{n})-f(y+\frac{k \cdot \delta}{n}) \vert < n \cdot \frac{\epsilon}{n} = \epsilon$$

Schätze den linken Term geschickt nach unten ab.

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Wichtig ist, dass wir hierbei ein beliebig kleines δ finden mit dieser Eigenschaft!

Das bedarf sicher einer ausführlichen Begründung.

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Mir ist aufgefallen, dass mein Beweis nicht funktioniert. Habe aber einen neuen:Wir nehmen hier auch an, dass keine primitive Periode existiert. Sei \( x \in D \) beliebig. Für alle \(\delta >0\) existieren unendlich viele \(z \in D\) mit \(f(z) =f(x) \). Die Menge all dieser \(z\) bezeichnen wir mit \(M\). \(M\) liegt dicht in \(D\). Da unsere Funktion stetig ist, liegt \(f(M) \) dicht in \(f(D) \). Da \(f(M) \) aber eine einelementige Menge ist, muss \(f(D) =f(M) \) gelten, womit wir fertig sind, da wir somit einen Widerspruch dazu haben dass die Funktion konstant ist. 

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Es sollte heißen: 'Für alle \( \delta >0 \) existieren unendlich viele \(z \in B_{\delta} (x) \cap D \) mit \(f(z) =f(x) \).' Die Menge \(M\) beinhaltet allerdings alle \(z \in D\) mit dieser Eigenschaft. Dass \(M\) dich in \(D\) liegt, muss man noch genauer begründen.

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Für alle δ>0 existieren unendlich viele z∈D mit f(z)=f(x).
Was ist denn damit gemeint ?

M liegt dicht in D.
Und warum ?

Mir scheint, dass du die ganze Zeit davon ausgehst, dass "keine kleinste Periode" gleichbedeutend ist mit "für beliebiges δ>0 eine Periode, die kleiner als δ ist".
Aber auch so etwas wie "für jede rationale Zahl p im offenen Intervall (1 ; 2)  existiert eine Periode p" erlaubt keine primitive Periode.

Zusatz : Da hat es wohl eine Überschneidung gegeben.

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Mir scheint, dass du die ganze Zeit davon ausgehst, dass "keine kleinste Periode" gleichbedeutend ist mit "für beliebiges δ>0 eine Periode, die kleiner als δ ist".

Mit einem kleinen Zwischenschritt sollte man das folgern können oder? Ich finde zwei Pedioden \(T_1\) und \(T_2\) mit \(\vert T_1-T_2 \vert < \delta \), wobei \(\delta >0 \) beliebig klein, da wir annehmen, dass es keine kleinste Periode gibt.

(Wenn wir beispielsweise das Intervall \( (1,2) \) betrachten und in diesem an 1 beliebig nahe Perioden finden, dann finden wir Perioden \(T_1\) und \(T_2\) mit \(\vert T_1-T_2 \vert < \delta \). )

Folglich existiert auch einfach eine Periode \(T_3=T_2-T_1< \delta \). 

Mein Beweis sieht also wie folgt aus:

Annahme: Es existiert keine primitive Periode.

Sei \(x∈D \) beliebig und \(M=\{z \in D \ \vert \ f(z)=f(x)\}\).

\(M\) liegt dicht in \(D \), da:

\(\forall x \in D \ \forall \delta >0 \ \exists \ y \in D \backslash M \ : \ \vert x-y \vert < \delta \)

(Wäre dies nicht so, so wäre die Funktion auf dem Intervall \( (x- \delta, x+ \delta ) \cap D\) konstant, womit folgen würde, dass die Funktion konstant ist, da \(x \in D\) und \(\delta >0\) beliebig sind.)

Da unsere Funktion stetig ist, liegt \(f(M)\) dicht in \(f(D)\). Da \(f(M)\) aber eine einelementige Menge ist, muss \(f(D)=f(M) \) gelten, womit wir fertig sind, da wir somit einen Widerspruch dazu haben, dass die Funktion nicht konstant ist. 

Ich sehe mal keinen Fehler. Wäre aber gut, wenn mal jemand drüber schauen könnte.

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Es muss natürlich \( y \in M \) heißen. Und als Begründung sollte man wohl lieber nutzen, dass für alle \(x \in D\) und für alle \(\delta >0\) unendlich viele \(z\) mit \(f(z) =f(x) \) in \(B_{\delta} (x) \cap D \) liegen. Wegen der Periodizität muss somit nämlich ein Element aus \(M\) dieser Menge liegen.