Ermittle jene quadratische Funktion

Question

Aufgabe:

Es sei f(x)=0,5x² + x + t und g: y= t• x + t für reelle Zahlen t.

Ermittle jene quadratische Funktion, deren Schaubild von der Geraden g berührt wird.

Comments

Und was ist Deine Frage dazu? Warum t = 1 die Lösung ist?

Answer 1

Aloha :)

Die Gerade \(y(x)\) soll die Funktion \(f(x)\) berühren, wobei:$$f_t(x)=\frac{x^2}{2}+x+t\quad;\quad y_t(x)=tx+t$$Berühren bedeutet, dass \(f\) und \(g\) genau einen Punkt gemeinsam haben:$$\left.f_t(x)=y_t(x)\quad\right|\text{Funktionen einsetzen}$$$$\left.\frac{x^2}{2}+x+t=tx+t\quad\right|-t$$$$\left.\frac{x^2}{2}+x=tx\quad\right|-tx$$$$\left.\frac{x^2}{2}+x-tx=0\quad\right|x\text{ ausklammern}$$$$\left.x\cdot\left(\frac{x}{2}+1-t\right)=0\quad\right.$$Nach dem Satz vom Nullprodukt habe wir zwei Lösungen:$$x_1=0\quad;\quad x_2=2(t-1)$$Da es genau einen gemeinsamen Punkt geben soll, muss \(x_1=x_2\) sein.

Das ist nur für \(t=1\) der Fall.

~plot~ x^2/2+x+1 ; x+1 ; {0|1} ; [[-4|4|-1|4]] ~plot~

Answer 2

Ermittle jene quadratische Funktion, deren
Schaubild von der Geraden g berührt wird.

Für Berührpunkte gilt

f ( x ) = g ( x )  | Koordinaten gleich
f ´( x ) = g ´( x )  | Steigung gleich

t = 1
Bei Bedarf nachfragen

Answer 3

Die beiden Linien berührten sich d.h. haben einen gemeinsamen Punkt. Man kann die Funktionen also gleichsetzen.

f (x) = g(x)   ⇔   0,5x² + x + t = tx + t

ergibt die quadratische Gleichung

0,5x² + (1-t)x = 0   mit den Koeffizienten a = 0,5    b = (1-t)    c = 0

Da sie nur eine Lösung haben soll, muss die Diskriminante in der Mitternachtsformel gleich null sein.

b² - 4ac = 0

b² - 0 = 0

b = 0

b = 1 - t = 0

t = 1