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Aufgabe:

Es sei f(x)=0,5x+ x + t und g: y= t• x + t für reelle Zahlen t.

Ermittle jene quadratische Funktion, deren Schaubild von der Geraden g berührt wird.

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Und was ist Deine Frage dazu? Warum t = 1 die Lösung ist?

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Aloha :)

Die Gerade y(x)y(x) soll die Funktion f(x)f(x) berühren, wobei:ft(x)=x22+x+t;yt(x)=tx+tf_t(x)=\frac{x^2}{2}+x+t\quad;\quad y_t(x)=tx+tBerühren bedeutet, dass ff und gg genau einen Punkt gemeinsam haben:ft(x)=yt(x)Funktionen einsetzen\left.f_t(x)=y_t(x)\quad\right|\text{Funktionen einsetzen}x22+x+t=tx+tt\left.\frac{x^2}{2}+x+t=tx+t\quad\right|-tx22+x=txtx\left.\frac{x^2}{2}+x=tx\quad\right|-txx22+xtx=0x ausklammern\left.\frac{x^2}{2}+x-tx=0\quad\right|x\text{ ausklammern}x(x2+1t)=0\left.x\cdot\left(\frac{x}{2}+1-t\right)=0\quad\right.Nach dem Satz vom Nullprodukt habe wir zwei Lösungen:x1=0;x2=2(t1)x_1=0\quad;\quad x_2=2(t-1)Da es genau einen gemeinsamen Punkt geben soll, muss x1=x2x_1=x_2 sein.

Das ist nur für t=1t=1 der Fall.

Plotlux öffnen

f1(x) = x2/2+x+1f2(x) = x+1P(0|1)Zoom: x(-4…4) y(-1…4)


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Ermittle jene quadratische Funktion, deren
Schaubild von der Geraden g berührt wird.

Für Berührpunkte gilt

f ( x ) = g ( x )  | Koordinaten gleich
f ´( x ) = g ´( x )  | Steigung gleich

gm-435.JPG

t = 1
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Die beiden Linien berührten sich d.h. haben einen gemeinsamen Punkt. Man kann die Funktionen also gleichsetzen.

f (x) = g(x)   ⇔   0,5x2 + x + t = tx + t

ergibt die quadratische Gleichung

0,5x2 + (1-t)x = 0   mit den Koeffizienten a = 0,5    b = (1-t)    c = 0

Da sie nur eine Lösung haben soll, muss die Diskriminante in der Mitternachtsformel gleich null sein.

b2 - 4ac = 0

b2 - 0 = 0

b = 0

b = 1 - t = 0

t = 1

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