Betrachten Sie den Satz von der Umkehrregel

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie den Satz von der Umkehrregel:

Differentiation der Umkehrfunktion:

Sei g die Umkehrfunktion einer streng monotonen Funktion f: I -> ℝ. Ist f in y₀∈ I differenzierbar mit f '(y₀)≠ 0, so ist g in x₀=f(y₀) differenzierbar mit

g'(x₀)= 1/ f'(y₀) = 1/ f'(g(x₀))

Geben Sie jeweils einen Beweis an, der auf der Auffassung der Ableitung als Tangentensteigung bzw. als Differenzenquotienten beruht.

Answer 1

Tangentensteigung:

Der Graph der Umkehrfunktion entsteht durch Spiegeln an der 1.Winkelhalbierenden

aus dem der Funktion.

Also wird auch die Tangente so gespiegelt, d.h. wenn die Tangente die Gleichung

(1)  y=mx+n hat, dann hat das Spiegelbild die Gleichung (2)  x=my+n.

Die Tangente geht durch (xo;yo) und hat die Steigung f'(xo) , also

hat man bei (1) für m= f'(xo) und mit yo= xo/f'(xo)+n gibt es n=yo - xo/f'(xo)

(2) y aufgelöst gibt das y= (1/m) x - n/m also y=1/f'(xo) * x - xo/f'(xo) .

Durch das Spiegeln vertauschen sich auch xo und yo , also

       y= 1/ f'(yo)*x - yo/f'(yo)

Die Steigung der Tangente bei der Umkehrfunktion ist also 1/ f'(yo) .

Differenzenquotient bei xo = f(yo) ist

( g(f(y) - g(f(yo)) / ( f(y) - f(yo) ) = (y - yo)/ (f(y)-f(yo))

=  1 /   (   (f(y)-f(yo)) /  (y - yo)  )

für y gegen yo gibt das bei den gennannten Vor'en 1 / f ' (yo).