Verständnisfrage zum Umkehrregel-Beweis der Differentialrechnung?

Question

\(f\) sei streng monoton und stetig auf dem Intervall \(I\), so dass die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) auf dem Intervall \(f(I)\) exisitiert. Ist in \(\xi\in I\) die Ableitung \(f'(\xi)\) vorhanden und \(\neq 0\), so kann \(f^{-1}\) in \(η :=f(\xi)\) differenziert werden und es gilt:$$\left(f^{-1}\right)'(\eta)=\frac{1}{f'(\xi)}=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(\eta)\right)}$$

Beweis:

Ist \((y_n)\) eine beliebige Folge aus \(f(I)\), die gegen \(\eta\) strebt und deren Glieder alle \(\neq \eta\) sind, so liegen die \(x_n:=f^{-1}(y_n)\) (blau) alle in \(I\), sind \(\neq \xi\), und wegen der Stetigkeit von \(f^{-1}\) strebt \(x_n\to f^{-1}(\eta)=\xi\). Also konvergiert:$$\frac{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(\eta)}{y_n-\eta}=\frac{x_n-\xi}{f(x_n)-\eta}=\frac{1}{\frac{f(x_n)-f(\xi)}{x_n-\xi}}\to \frac{1}{f'(\xi)}$$

Skizze:

Frage:

Was passiert beim Grenzübergang? Also warum gilt \( \Large \frac{1}{\frac{f(x_n)-f(\xi)}{x_n-\xi}}\to \frac{1}{f'(\xi)}\)? Für \(n\to \infty\)  würde doch \(f(x_n)\to \eta\) und \(x_n\to \xi\).

Der Beweis stammt in der Form aus Harro Heusers "Analysis I"

Answer 1

Also warum gilt .... ? 

Da wird die Definition der Ableitung benutzt. (Grenzübergang von Differenzen- zu Differentialquotient)

Voraussetzung: f(x) ist in xi differenzierbar.

Schreib über den Pfeil noch (n->unendlich).

Comments

Ich habe mal die Steigung der Tangete im Punkt \(f'(\xi)\) skizziert:

Die Veränderung in y-Richtung wird dann beschrieben durch \(f(x_n)-f(\xi)\). Die in x-Richtung durch \(x_n - \xi\). Das entspricht der Definition von Differenzierbarkeit. Ich hatte gerade einen Geistesblitz...

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Das gespiegelte Steigungsdreieck ξ ( =xi) usw. hätte ich jetzt auch noch eingezeichnet. Und klarer gekennzeichnet, ob eine Sekante oder eine Tangente gemeint ist.

Aber die Skizze ist gut und du hast es offenbar verstanden.

Definition der "Ableitung" an der Stelle xi genügt.

Differenzierbarkeit an der Stelle xi heisst eher, dass es nicht drauf an kommt, welche Folge mit Grenzwert xi man benutzt.

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Warum ist \(\Large \frac{x_n-\xi}{f(x_n)-\eta}=\frac{1}{\frac{f(x_n)-f(\xi)}{x_n-\xi}}\)?

Hier wurde ja \(\eta \) durch \(f(\xi)\) ersetzt, damit ist meine Skizze aber nicht d'accord.

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Spiegle an der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten. (Umkehrfunktionen sind symmetrisch zur  Winkelhalbierenden des ersten Quadranten).

Dann die Steigung an der gleichen Position bezüglich der Winkelhalbierenden betrachten. Über Steigungen an andern Positionen kannst du nichts aussagen, wenn du die Steigung in xi oder eta kennst.