Verständnisfrage: Ableitung einer Umkehrfunktion, Voraussetzungen

Question

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Ableitung_der_Umkehrfunktion#Satz_.C3.BCber_die_Ableitung_der_Umkehrfunktion

1. Warum ersetzt die Forderung, dass D ein Intervall ist, die Forderung,

dass f^{-1} in y* stetig ist und und dass x* bzw. y* Häufungspunkte von D bzw. W sind?

2. Und warum ist der grün markierte Bereich eine notwendige Forderung?

Eine Antwort würde mir sehr weiterhelfen :)

PS:  Der * ersetzt das Tilde-Symbol

Answer 1

Die Ableitung ist ein Grenzwert. Grenzwerte sind nur an Häufungspunkten definiert. Damit f: D→W differenzierbar in x₀ ∈ D ist, muss x₀ also Häufungspunkt von D sein. Aus gleichem Grund muss y₀ ∈ W Häufungspunkt von W sein, damit die Umkerfunktion von f: D→W differenzierbar in y₀ ist.

Die Umkehrfunktion einer differenzierbaren Funktion ist nicht notwendigerweise stetig. Stetigkeit ist aber notwendig für differenzierbarkeit. Damit die Umkerfunktion von f: D→W differenzierbar in y₀ ist, muss sie dort also insbesondere stetig sein.

Ist D ein Intervall, dann sind diese Forderungen erfüllt.