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Hi,

die Aufgabe lautet:

$$Sei\space U\subseteq \mathbb{R}^2\space offen\space und \space  K\subseteq U\space kompakt\space und \space f: U\rightarrow \mathbb{R}\space stetig\space differenzierbar$$

$$Sei \space F: U\rightarrow \mathbb{R}^3, (x_1, x_2 , x_3) \rightarrow (x_1, x_2, f(x_1, x_2))$$

Zeigen sie A(F(K))= \( \int_K \) \( \sqrt{1 + (\frac{\delta f}{\delta x_1})^2 + \frac{\delta f}{\delta x_2}} dx\)


Ich habe einfach keine Ahnung, was mein Ansatz auch nur sein könnte.

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Ist U ein Graph? Welche Fläche willst du genau berechnen? Die von U?

Hallo

schreib wenigstens die Formel richtig auf!

 kennst du das 2d, um die Länge einer Kurve (x,f(x)) zu bestimmen?

lul

Alles was ich aufgeschrieben habe, ist alles was ich gegeben habe.

kennst du das 2d, um die Länge einer Kurve (x,f(x)) zu bestimmen?


Hier sah die Originalfrage auch etwas anders aus. https://www.mathelounge.de/586885/flacheninhalt-eines-graphen Schau bitte nochmals genauer.

99C1834B-A876-4D55-A9F0-EA646B7D961B.jpegDas ist alles was gegeben ist

Wie hängen F, f und A zusammen?

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Aloha :)

Wenn ich die Frage richtig verstanden habe, haben wir eine offene Teilmenge \(U\subseteq\mathbb{R}^2\) und darauf definiert eine setig differenzierbare Funktion \(f:U\to\mathbb{R}\), d.h. \(f=f(x_1,x_2)\). Damit ist eine Funktion \(F:U\to\mathbb{R}^3\) definiert, \(F(x_1,x_2):=(x_1,x_2,f(x_1,x_2))\), die eine Oberfläche abtastet. Gesucht ist nun die Größe dieser Oberfläche über einer kompakten Teilemenge \(K\subseteq U\), d.h. \((x_1,x_2)\) tastet ganz \(K\) ab.

Der Ortsvektor \(\vec r\) taste die Oberfläche \(F\) ab, d.h.:$$\vec r=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\f(x_1,x_2)\end{array}\right)$$Der Betrag des Vektorprodukts von 2 Vektoren ist gleich der Fläche des von ihnen aufgespannten Parallelogramms. Daher gilt für das infinitesimale Flächenelement:

$$d\vec f=\left(\frac{\partial\vec r}{\partial x_1}dx_1\right)\times\left(\frac{\partial\vec r}{\partial x_2}dx_2\right)=\left(\frac{\partial\vec r}{\partial x_1}\times\frac{\partial\vec r}{\partial x_2}\right)\,dx_1\,dx_2$$$$\phantom{d\vec f}=\left(\begin{array}{c}1\\0\\\frac{\partial f}{\partial x_1}\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}0\\1\\\frac{\partial f}{\partial x_2}\end{array}\right)\,dx_1\,dx_2=\left(\begin{array}{c}-\frac{\partial f}{\partial x_1}\\-\frac{\partial f}{\partial x_2}\\1\end{array}\right)\,dx_1\,dx_2$$Wir benötigen hier nur den Betrag:

$$df=\left|d\vec f\right|=\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial x_2}\right)^2}\,dx_1\,dx_2$$Die gesuchte Oberfläche ist daher:

$$A(F(K))=\int\limits_Kdf=\int\limits_K\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial x_2}\right)^2}\,dx_1\,dx_2$$Ich komme auf eine andere Formel als in der Aufgabenstellung, dürfte mich aber eigentlich nicht vertan haben.

Avatar von 152 k 🚀

Deine Lösung stimmt. Beim Ergebnis der Aufgabenstellung fehlt ein Quadrat.

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Hallo

 die Tangentialvektoren an den Graphen  und damit die infenitesimalen Parallelogramme haben die Tangentialvektoren als Seiten, es sind die 2 Vektoren (1,0,f_x) und (0,1,f_y)  der Betrag des Kreuzproduktes ergibt die Flächenstückchen die aufaddiert bzw. integriert die Fläche geben.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

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