Question

Kurvendiskussion von f(x) = |x-1|ln(|x|) in der höheren Mathematik

Aufgabe: Diskutiere die Funktion f(x) = |x-1|ln(|x|)

-Definitionsbereich

-Stetigkeitsbereich

-Nullstellen

-Differenzierbarkeit

-lokale Extrema

-globale Extrema

-Randverhalten

-Monotonie

-Erläutere den Unterschied zwischen lokalen und globalen Extrema

Fallunterscheidungen: x<0, 0≤x<1 und x≥1 - warum?

Comments

Du könntest die Funktion auch zu \(f(x) = \dfrac{\sqrt{(x - 1)^2} \ln(x^2)}{2}\) umschreiben.

Answer 1

Definitionsbereich: Was ist verboten? nur x=0, weil ln0 nicht ex., also D=ℝ\{0}

stetig auf D, nirgends in D (!!!) ist ein Sprung, 0 gehört ja nicht dazu.

doppelte Nst: x=1 für beide Faktoren

Diffbar auf D

lok. Extr keine

1. Ableitung
f'(x)=((x^2-x)*ln(abs(x))+x^2-2*x+1)/(x*abs(x-1))

2. Ableitung
f''(x)=(x^2-1)/(x^2*abs(x-1))

3. Ableitung
f'''(x)=-(x^2+x-2)/(x^3*abs(x-1))

globale Extrema: keine

Randverhalten: beidseitig gegen + unendl.

Monotonie: insgesamt kein, höchsten abschnittsweise

Fallunterscheidungen: x<0, 0≤x<1 und x≥1 - warum?????????

weil f bei x=0 nicht def. und da von links und rechts gegen minus unendl geht. Deshalb >0, <0 unterscheiden

für x>1 fallen die Betragsstriche weg, die Grenze ist bei 1.

Answer 2

Fallunterscheidung: x<0, 0<x<1 und x≥1 - warum?

f(x) = |x-1|ln(|x|)

Logarithmus ist nicht definiert für x=0.

g(x) = |x| ist nicht differenzierbar bei x = 0.

h(x) = |x-1| ist nicht differenzierbar bei x = 1.

Daher entlang der x-Achse diese bei x = 0 und x = 1 unterteilen in drei Gebiete. x = 0 sollte da aber gar nicht vorkommen!

Comments

g(x) = |x| ist nicht differenzierbar bei x = 0.
h(x) = |x-1| ist nicht differenzierbar bei x = 1.

Dies ist richtig, aber irrelevant. f(x) ist stetig und diffb. !

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Willst du nicht erklären, woher die angegebene Fallunterscheidung kommt?