10^(3x+1) -10^2x -10^(3+x)+100 = 0

Question

Aufgabe:

Wie löse ich folgende Gleichung:

10^(3x+1) -10^2x -10^(3+x)+100 = 0

Problem/Ansatz:

Ich kam nur zu:

10^(3+x) [10^(2x-2) - 10^ (x-3) -1] +100 =0

Answer 1

Beachte, dass 100=10^2. Man kann nun ausklammern, du erhältst: (10^x - 10) (10^x + 10) (10^(x + 1) - 1). Betrachte nun die einzelnen Terme einzeln und setze sie null.

Comments

Das diese eine richtige Faktorisierung ist erkennt man direkt beim Ausmultiplizieren.

Aber ich muss gestehen das ich nicht direkt darauf gekommen wäre. Ich weiß nicht wie viel Prozent sowas immer gleich beim ansehen eines Terms erblicken.

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Es gibt einen Kurs zum Faktorisieren auf "Khanacademy"; dort gibt es immer ein Beispielaufgabengenerator - wenn man dort lang genug faktorisiert, gibt es bestimmte Muster. Zudem sind es meist ganzzahlige Lösungen im Intervall \([-5,5]\).

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Ich hab es selber mal gerechnet. Hab die günstige Faktorisierung aber erst gesehen nachdem ich substituiert hatte. Weil das der Weg gewesen wäre wie ich es gemacht hätte habe ich das auch nochmal hier als Antwort gegeben. Es ist ja immer günstig für den Fragesteller ein paar Wege zur Auswahl zu haben.

Answer 2

10*10^(3x)-10^(2x)-10^3*10^x+100= 0

substituieren; 10^x = z

10z^3-z^2-1000z+100= 0

z^3 - z^2/10 -100z +10= 0

Verwende jetzt ein Näherungverfahren!

Comments

Vorzeichenfehler?

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Habs ediert. Danke dir. :)

Answer 3

10^(3·x + 1) - 10^(2·x) - 10^(3 + x) + 100 = 0

10·10^(3·x) - 10^(2·x) - 1000·10^(x) + 100 = 0

Subst. z = 10^x

10·z^3 - z^2 - 1000·z + 100 = 0

z^2·(10·z - 1) - 100·(10·z + 1) = 0

(z^2 - 100)·(10·z - 1) = 0

z^2 = 100 → z = ±10 → x = 1

z = 1/10 = 10^(-1) → x = -1