Betragsgleichung und -ungleichung lösen. |x−4|=|8+x| b) |x−4|<|8+x|

Question

Wie löse ich diese Aufgaben?

Menge aller reellen Zahlen bestimmen

a) |x−4|=|8+x|

 b) |x−4|<|8+x|

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

|x−4|=|8+x|

Du unterscheidest einfach die Fälle, bei denen

sich der Term, der den Betrag beschreibt, ändert.

Also etwa bei  |x−4| ist das ja

x-4    für  x≥4  und es ist -(x-4) für < 4

Entsprechend ändert sich der andere Betrag bei -8.

Du musst also betrachten

x < -8   (Dann ist es ja nat. auch kleiner als 4.)

-8 ≤ x < 4

und x≥4.  (Also auch > -8 . )

In diesen 3 Fällen wird deine Gleichung zu

1.    -x+4=-8-x  <=>   4 = -8 , hat also keine Lösung.

2.    x−4=-8-x <=>  x = -2 , das liegt in dem bei
               2. betrachteten Bereich, ist also eine Lösung.

3. x−4=8+x  <=>  -4=8 , hat also wieder keine Lösung.

Einzige Lösung demnach  x=-2.

Kannst auch die Graphen zeichnen und schauen, wo sie sich schneiden:

~plot~ abs(x-4) ; abs(8+x) ; [[-10|10|-10|10]] ~plot~

Comments

Kannst du mir bitte auch b) nach diesem Schema erklären? Ich habe immernoch Verständnisprobleme

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Kannst du mir bitte auch b) nach diesem Schema erklären?

b) |x−4|<|8+x|

Ist rechnerisch und v.a. im Graph dasselbe wie a). Du musst hier den Bereich angeben in dem der Graph von |x−4| echt unterhalb des Graphen von y=|8+x|  verläuft.

Das ist für x > -2 der Fall. Daher L = ]-2, unendlich ].

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Kannst du mir dass bitte nach dem Schema von mathedef erklären (rechnerisch)?

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Woher weiß ich eigentlich welche Fallunterscheidungen ich genau machen muss, bei mir liegt es daran dass ich das nicht erkenne. Ich bin noch neu in diesem Thema

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Das kommt mit der Übung. Ausserdem gibt es bei den "ähnlichen Fragen" genügend vorgerechnete Zahlenbeispiele.

Du musst wissen, was Äquivalenzumformungen sind und was nicht. Es gibt Umformungen bei denen Scheinlösungen hereingeschmuggelt werden können und andere, bei denen man Lösungen verlieren kann. Kennst du dafür Regeln? Suche sie und lerne sie.

Du musst auch die Definitionen lernen, wenn die Definitionen eine Fallunterscheidung enthalten, wie z.B. die Definitions des Betrags, dann kannst du bei deinen Rechnungen auch Fallunterscheidungen machen. Das ist aber nicht unbedingt nötig bei deiner Aufgabe. Hier ist gar keine Fallunterscheidung nötig, wenn du erst quadrierst, wie Roland das vorschlägt.

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Das würde dann so gehen:

In diesen 3 Fällen wird deine Ungleichung zu

1.    -x+4 < -8-x  <=>   4 < -8 , hat also keine Lösung.

2.    -x+4 < 8+x <=>  x > -2 , also bei dem in
               2. betrachteten Bereich, -8≤x<-2 oder also 
               Intervall geschrieben  ] -2 ; 4 [ 

3. x−4<8+x  <=>  -4<8  stimmt immer, also

gehört der ganze betrachtete Bereich von Fall 3 zu der

Lösungsmenge, damit L =   [ 4 ; ∞ [  ∪  [ -2 ; 4 [  =  [ -2 ; ∞ [

Woher weiß ich eigentlich welche Fallunterscheidungen ich genau machen muss ?

Bei Beträgen ist der Fall einfach:

Du schaust, wann der Term zwischen den Betragszeichen größer

bzw. kleiner 0 ist. Im ersten Fall lässt du ihn wie er ist und

im anderen Fall nimmst du ihn mit -1 mal.

Answer 2

a) kannst du auch lösen, indem du beide Seiten quadrierst und nach x auflöst. Auch dann erhältst du x= - 2.

b) nachdem du den Grenzfall x= - 2 bereits kennst, kennst du auch die Lösung der Ungleichung: x> - 2.

Answer 3

Gesucht ist die Menge aller reellen Zahlen x mit

a) |x-4| = |8+x|

b) |x-4| < |8+x|

Sehen wir es mal so:

a) |x-4| = |x-(-8)|

b) |x-4| < |x-(-8)|

Die Gleichung in a) beschreibt die Punkte auf der Zahlengeraden, also die Zahlen, die von 4 ebenso weit entfernt liegen wie von (-8). Das ist genau die Mitte zwischen diesen beiden Punkten, also das arithmetische Mittel (4+(-8)/2=(-2) der beiden Zahlen 4 und (-8).

Die Gleichung in b) beschreibt die Punkte auf der Zahlengeraden, also die Zahlen, die von 4 weniger weit entfernt liegen wie von (-8). Das ist genau die Halbgerade rechts von der Mitte zwischen diesen beiden Punkten, also das offene Intervall ]-2;+∞[.

Fallunterscheidungen, Ausflüge ins Zweidimensionale oder Quadrieren sind nicht erforderlich!

Comments

Könntest du zu b) auch eine Skizze machen?

Ich verstehe da nur Bahnhof.

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Deine Skizze beschreibt nicht die richtige Situation. Es geht um (-8) und (+4)!

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Leider habe ich eine totale Blockade. Könnten Sie mir eine Skizze machen?

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Dies ist eine Skizze der Situation:

Edit: Skizze berichtigt.

Answer 4

Ohne tiefschürfende Überlegungen
a) |x−4|=|8+x|
Beide Seiten sind durch die Betragszeichen positiv
Die Aussage bleibt beim Quadrieren richtig
( x-4)^2 = ( 8 + x )^2
x^2 - 8x + 16 = 64 + 16 x - x^2
- 24 x = 48
x = -2

b.) |x−4|<|8+x|
Beim Quadrieren bleibt das Relationszeichen zwischen nichtnegativen Zahlen erhalten
Beispiel a > 0, b > 0, Es soll gelten 
a < b
a^2 < b^2
(x−4)^2 < (8+x)^2
x^2 - 8x + 16 < 64 + 16 x - x^2
- 24 x < 48  | : -24
x größer -2