Identität Für alle n ∈ N gilt |u^n| = |u|^n beweisen mit vollständiger Induktion

Question

Im Unterricht haben wir gezeigt, dass für zwei reelle Zahlen s, t die Identität |st| = |s|*|t| gilt. Es sei nun u ∈ R. Benutze die oben angeführte Identität, um mithilfe vollständiger Induktion die folgende Behauptung zu beweisen.
Behauptung: Für alle n ∈ N gilt |u^n| = |u|^n

Wie muss ich diese Aufgabe berechnen?

Answer 1

Für alle n ∈ N gilt |u^n| = |u|^n.

Zuerst mal für n=1 prüfen: |u^1| = |u|^1

                                  <=>  |u| = |u|.

Das stimmt offenbar für jedes u ∈ R.

Dann der Induktionsschritt:

Angenommen, es stimmt für ein n, dann

musst du zeigen: Es stimmt auch für n+1.

Also: Sei n∈ℕ und u ∈ R und es gelte

                                |u^n| = |u|^n      #

Musst daraus herleiten   |u^(n+1)| = |u|^(n+1) .

Das hat man so :   |u^(n+1)|

                            = |u^n * u |  und wegen  |st| = |s|*|t| ist das

                           =      |u^n| * |u|   wegen # ist das

                           =   |u|^n  * |u|   und nach Def. der Potenzen ist das

                            = |u|^(n+1) .

                                                               q.e.d.

Answer 2

Ind.Anfang ist klar.

Ind.-Schluss:

|uⁿ⁺¹| = (Potenzgesetze) |uⁿ·u¹| = (Identität aus dem Unterricht) |uⁿ|·|u| = (Induktionsvoraussetzung) |u|ⁿ·|u|¹ = (Potenzgesetze) |u|ⁿ⁺¹.

Answer 3

Aloha :)

Aus dem Unterricht kennst du die Identität \(|s\cdot t|=|s|\cdot|t|\) für \(s,t\in\mathbb{R}\). Darauf aufbauend kannst du die vollständige Induktion wie folgt durchführen:

Verankerung bei \(n=1\)

$$\left|u^n\right|=\left|u^1\right|=\left|u\right|=\left|u\right|^1=\left|u\right|^n\quad\checkmark$$

Induktionsschritt \(n\to n+1\)

$$\left|u^{n+1}\right|=|\underbrace{u^n}_{s}\cdot\underbrace{u}_{t}|=|\underbrace{u^n}_{s}|\cdot|\underbrace{u}_{t}|=\left|u\right|^n\cdot\left|u\right|^1=\left|u\right|^{n+1}\quad\checkmark$$