Für alle n ∈ N gilt |un| = |u|n.
Zuerst mal für n=1 prüfen: |u1| = |u|1
<=> |u| = |u|.
Das stimmt offenbar für jedes u ∈ R.
Dann der Induktionsschritt:
Angenommen, es stimmt für ein n, dann
musst du zeigen: Es stimmt auch für n+1.
Also: Sei n∈ℕ und u ∈ R und es gelte
|un| = |u|n #
Musst daraus herleiten |u^(n+1)| = |u|^(n+1) .
Das hat man so : |u^(n+1)|
= |un * u | und wegen |st| = |s|*|t| ist das
= |un| * |u| wegen # ist das
= |u|n * |u| und nach Def. der Potenzen ist das
= |u|^(n+1) .
q.e.d.