Beweisen Sie diese Identität zwischen zwei unendlichen Summen (wobei x ∈ R und n! für Fakultät stehen):

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie diese Identität zwischen zwei unendlichen Summen (wobei x ∈ R und n! für Fakultät stehen):

(\(\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!})^2 = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!}\)

Answer 1

Cauchy-Produkt für Reihen:$$\left(\sum_{k=0}^\infty a_k\right)\cdot\left(\sum_{k=0}^\infty b_k\right)=\sum_{k=0}^\infty\sum_{n=0}^ka_{k-n}b_n.$$Mit \(a_k=b_k=\dfrac{x^k}{k!}\) ist$$\quad\sum_{n=0}^ka_{k-n}b_n=\sum_{n=0}^k\frac{x^{k-n}}{(k-n)!}\cdot\frac{x^n}{n!}\\=\sum_{n=0}^k\frac1{k!}\binom knx^k=\frac1{k!}\cdot2^kx^k=\frac{(2x)^k}{k!}.$$

Answer 2

Es ist doch (e^x)^2 das Gleiche wie e^2x.

Comments

wie bitte? Was meinst du damit?

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Der linke Term ist die quadrierte Reihenentwicklung für e^x, der rechte Term ist die Reihenentwicklung für \(e^{2x}\).