Verständnisfrage, Grenzwert u Konvergenz bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie Grenzwert und Konvergenz von 
a_n:= \(\sum\limits_{k=0}^{n}{q^k}\),  für ein q ∈ (-1,1)

Problem/Ansatz:

Erster Gedanke: geometrische Reihe, sprich:
für |q|≥1 divergent, was in diesem Fall ja zutrifft.
Aber die Aufgabe impliziert, dass sie konvergiert und hat einen Grenzwert hat oder nicht?

für q =-1 konvergiert die Folge nicht, aber ist beschränkt, es ist 1,0,1,0,...
für q=1 konvergiert die Folge, für n gegen unendlich, gegen unendlich (/divergent), da 1,2,3,4,5,..,n

Wie wird q gewählt, kann es für jedes a_n anders sein? Also z.B. für a_1 q=1, für a_2 q=-1 ?

Ich bin insgesamt ein bisschen verwirrt, was ich mit der Aufgabe machen soll

Answer 1

Aloha :)

In der Aufgabenstellung steht: \(q\in(-1;1)\). Die runden Klammern bedeuten "ausschließlich" der Grenzen. Anders könnte man auch schreiben \(q\in]-1;1[\). Daher ist laut Aufgabenstellung \(|q|<1\).

Comments

ohhh danke, hab ich falsch gelesen / verstanden.

Answer 2

Für q=1 ist a_n=n(n+1)/2. Kein Grenzwert.

Für q=-1 springt a_n zwischen 0 und 1 hin und her. Kein Grenzwert.

Comments

Ist nicht a_n=n+1, falls q=1 ist?