In einem Koordinatensystem kann man den Abstand eines Punkte zum Ursprung mit dem Satz des Pythagoras festlegen. Der Punkt P(6|8) hat zum Ursprung den Abstand √(6² + 8²).
Sind zwei Punkte, zum Beispiel P(3|2) und Q(9|10) gegeben, dann verschiebt beide so, dass einer der Punkte zum Urpsrung wird. Dann hat man zum Beispiel P'(0|0) und Q'(9-3|10-2).
Den Abstand zwischen P' und Q' kann man dann wie oben berechnen und als Abstand der Punkte P und Q auffassen. Dieser Abstand ist dann die Länge der Strecke PQ.
Eine Kurve kann man beschreiben mit Hilfe einer Funktion mit Definitionsbereich [0, 1] und Punkten als Wertebereich. Zum Beispiel
f(x) = (2x-1 | (2x-1)²).
Die Kurve ist in diesem Fall ein Teil der Normalparabel.
f(0) = (2·0-1 | (2·0-1)²) = (-1 | 1) liegt auf der Norrmalparabel
f(0,1) = (2·0,1-1 | (2·0,1-1)²) = (-0,8 | 0,64) liegt auf der Norrmalparabel
f(0,5) = (2·0,5-1 | (2·0,5-1)²) = (0 | 0) liegt auf der Norrmalparabel
f(0,75) = (2·0,75-1 | (2·0,75-1)²) = (0,5 | 0,25) liegt auf der Norrmalparabel
und so weiter.
Für die Länge dieser Kruve unterteilt man zunächst den Bereich [0, 1] in einzelne Teilbereiche. Dann rechnet man für jeden Teilbereich Anfangs- und Endpunkt aus. Daraus kann man dann den Abstand von Anfangs- und Endpunkt jedes Teilbereiches berechnen. Anschließend summiert man alle Abstände. Das ist dann eine Näherung für die Länge der Kurve.
Um die tatsächliche Länge der Kurve zu bestimmen, untersucht man, was mit den Näherungen passiert, wenn man den Bereich [0, 1] so unterteilt, dass der größte Teilbereich beliebig klein wird. Wenn sich dann die Näherungen beliebig nah einer Zahl d nähern, dann ist d die Länge der Kurve.
Eine ähnliche Vorgehensweise findet man, wenn man aus dem Umfang eines Kreises den Flächeninhalt bestimmt, wenn man Flächen unter Funktionsgraphen oder Steigungen von Funktionsgraphen bestimmt.
