Hilfe bei einer Aufgabe zur Kostenminimierung

Question

vielleicht kann mir jemand mit folgender Aufgabe helfen:

"Das Mobilfunkunternehmen Tello bietet seinen Kunden eine Beteiligung an der Gestaltung des Gebührenmodells an. Sei x > 0 die Anzahl der telefonierten Minuten pro Monat und y > 0 ein Parameter, der vom Kunden zu Vertragsbeginn frei gewählt werden kann. Für die Gebühren G(x, y) gilt die Funktionsgleichung

$$ G(x,y) =\frac{x}{3(y+1)}+3(y+1)^{2}. $$

Wie sollten sie y wählen, falls Sie bei festem x = x₀ Ihre Kosten minimieren wollen? "

Mein Ansatz wäre folgender:

Die Kosten werden minimal, wenn die Funktion minimal wird. Das heißt es muss ein Tiefpunkt vorliegen.

Also leite ich die Funktion nach y ab und bestimme die Nullstellen. Und genau da liegt mein Problem.

Wenn ich nämlich alles richtig gemacht habe, dann kommt am Ende folgendes raus:

$$ -18y^{3}-54y^{2}-54y-18+x_{0}=0 $$

Wie mach ich jetzt weiter, bzw. welchen anderen Ansatz muss ich verfolgen, um auf die Lösung zu kommen?

Vielen Dank schonmal im Voraus :)

Answer 1

Ich würde das wie folgt machen:

18·y^3 + 54·y^2 + 54·y + 18 - x = 0
18·y^3 + 54·y^2 + 54·y + 18 = x
18·(y^3 + 3·y^2 + 3·y + 1) = x
18·(y + 1)^3 = x
(y + 1)^3 = x/18
y + 1 = (x/18)^(1/3)
y = (x/18)^(1/3) - 1

Teste mal für ein paar Werte von x ob das so richtig ist.