Lineare Regression Hilfe bei Ansatz

Question

Aufgabe:

Nehmen Sie folgenden Datensatz D ⊆R3: D = {(3,0.2,4),(5,3.5,3.2),(10,4.6,2),(12.5,0,1.4)} Die rechte Komponente ist der Zielwert der unbekannten Zielfunktion, die ersten beiden Komponenten sind die Eingabe; man kann also die Eingabe als einen Vektor auffassen. Ermitteln Sie durch eine lineare Regression die lineare Funktion h : R² →R , für die gilt: für (x,y,z) ∈ D ist die summierte Abweichung (h(x,y)−z)2 minimal! (Zur Erinnerung: h hat also die Form h(x,y) = ax + by + c).

Answer 1

Anpassung an Methode der kleinsten Fehlerquadrate

\(\small f(x, y) \, :=  \, a_2 \; y + a_1 \; x + a_0\)

\(\small R_k = \left(f\left(X_k, Y_k \right) - Z_k \right)^{2}\)

\(\small R_k(a_2, a_1, a_0) \, :=  \, \left(a_0 + \frac{25}{2} \; a_1 - \frac{7}{5} \right)^{2} + \left(a_0 + 3 \; a_1 + \frac{1}{5} \; a_2 - 4 \right)^{2} + \left(a_0 + 5 \; a_1 + \frac{7}{2} \; a_2 - \frac{16}{5} \right)^{2} + \left(a_0 + 10 \; a_1 + \frac{23}{5} \; a_2 - 2 \right)^{2}\)

\(\small dR_{a_2,a_1,a_0} \, :=  \,  \left\{ \frac{83}{5} \; a_0 + \frac{641}{5} \; a_1 + \frac{669}{10} \; a_2 - \frac{212}{5}, 61 \; a_0 + \frac{1161}{2} \; a_1 + \frac{641}{5} \; a_2 - 131, 8 \; a_0 + 61 \; a_1 + \frac{83}{5} \; a_2 - \frac{106}{5} \right\} \)

\(F(x, y) \, :=  \, -0.27 \; x - 0.04 \; y + 4.75\)

Answer 2

Bilde die Funktion $$  F(a,b,c) = \sum_{k=1}^n ( ax_k+by_k+c - z_k)^2  $$ und berechne das Minimum. D.h. berechne \( \frac{ \partial{F} } { \partial{a} } = 0 \) und ebenso für \( b \) und \( c \) und löse das nach \( a, b, c\) auf.