Gleichung zeigen (Mengendifferenz): Voraussetzung: Es gilt: B⊂A und D⊂C

Question

kann mir bitte einer sagen, wie man die folgende Gleichung zeigt?

(A\B) \ (C\D) = A \ (BUC) U (A∩D) \ (B∩D)

Das blaue U in der Mitte soll die disjunkte Vereinigung sein.

Danke

Nachtrag: Voraussetzung: Es gilt: B⊂A und D⊂C

Comments

Ich sehe gerade ich hab was vergessen:

Es gilt: B⊂A und D⊂C

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Habe ich in der Fragestellung ergänzt.

Hast du in der langen Formel keine weiteren Klammern. Wie lauten eure Prioritätenregeln?

Wegen B⊂A gilt A\B = (A \ (A n B))

und D⊂C. C\D = (C\(DnC))

Ob dir das was hilft, weiss ich nicht.

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Danke fürs Ergänzen. Klammer sind keine mehr und Prioritätenregeln haben wir auch keine festgelegt. Mal noch eine Frage: Müsste es beim zweiten nicht sein C\D=(C\(CnD)) oder gild das was du geschrieben hast auch? Wenn da keine Klammer mehr sind bzw. wir keine Prioritätenregeln haben, wie kann man das dann ganz allgemein lösen?

Danke

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Ich würde gern meine Antwort posten, aber leider bekomme ich die Meldung, dass nur 8000 Zeichen erlaubt seien. Wenn ich meine Zeichen allerdings von Word zählen lasse, erhalte ich 1553 Zeichen (mit Leerzeichen), also deutlich weniger als 8000 Zeichen. Was kann ich da tun?

EDIT: Hat sich erledigt, wie man sehen kann :-)

Bist du sicher, dass die Voraussetzung B⊂A und D⊂C gegeben ist? Meine Lösung kommt auch ohne diese Voraussetzung aus, wobei ich nicht ausschließen möchte, einen Fehler gemacht zu haben. Ich setze lediglich voraus, dass es eine Obermenge M der Mengen A, B, C, D gibt, sodass also gilt:

A ⊂ M, B ⊂ M, C ⊂ M, D ⊂ M

Außerdem zur Bedeutung von A \ B:

A \ B = { k ∈ M | k ∈ A ∧ ¬ ( k ∈ B ) }

Das gilt auch, wenn B ⊄ A ist. Ebenso für C \ D

Answer 1

Ich nehme an, dass eine Menge M gegeben ist und dass gilt A, B, C, D ⊂ M.

Zu zeigen ist, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten des Gleicheitszeichens dieselbe Menge darstellen.

Links steht: ( A \ B ) \ ( C \ D )

Es ist:

( A \ B ) = { k ∈ M | k ∈ A ∧ ¬ ( k ∈ B ) }

und 

( C \ D ) = { k ∈ M | k ∈ C ∧ ¬ ( k ∈ D }

Damit gilt:

 ( A \ B ) \ ( C \ D ) = { k  ∈ M | k ∈ A ∧ ¬ ( k ∈ B )  ∧ ¬ ( ( k ∈ C ) ∧ ¬ ( k ∈ D) ) }

= { k  ∈ M | k ∈ A ∧ ¬ ( k ∈ B ) ∧ ( ¬ ( k ∈ C ) ∨ ( k ∈ D ) ) }

 

Rechts steht: A \ ( B U C ) U ( A ∩ D ) \ ( B ∩ D )

Es ist:

B U C = { k ∈ M | k ∈ B ∨ k ∈ C }

und daher:

A \ ( B ∪ C ) = { k ∈ M | k ∈ A ∧ ¬ ( k ∈ ( B ∪ C ) ) }

= { k ∈ M | k ∈ A ∧ ¬ ( k ∈ B )  ∧ ¬ ( k ∈ C ) }

Weiterhin ist:

( A ∩ D ) \ ( B ∩ D ) = { k ∈ M | k ∈ A ∧ k ∈ D  ∧ ¬ ( ( k ∈ B ∧ k ∈ D ) ) }

Insgesamt gilt daher:

A \ ( B ∪ C ) U ( A ∩ D ) \ ( B ∩ D )

= { k ∈ M | k ∈ A ∧ ¬ ( k ∈ B )  ∧ ¬ ( k ∈ C ) } ∪ { k ∈ M | k ∈ A ∧ k ∈ D  ∧ ¬ ( ( k ∈ B ∧ k ∈ D ) ) }

= { k ∈ M | k ∈ A ∧ ¬ ( k ∈ B )  ∧ ¬ ( k ∈ C ) } ∪ { k ∈ M | k ∈ A ∧ k ∈ D  ∧ ( ¬ ( k ∈ B ) ∨ ¬ ( k ∈ D ) ) }

= { k ∈ M | k ∈ A ∧ ¬ ( k ∈ B )  ∧ ¬ ( k ∈ C ) }

∪ { k ∈ M | ( k ∈ A ∧ k ∈ D  ∧ ¬ ( k ∈ B ) ) ∨ ( k ∈ A ∧ k ∈ D  ∧ ¬ ( k ∈ D ) ) }

= { k ∈ M | k ∈ A ∧ ¬ ( k ∈ B )  ∧ ¬ ( k ∈ C ) } ∪ { k ∈ M | ( k ∈ A ∧ k ∈ D  ∧ ¬ ( k ∈ B ) ) ∨ False }

= { k ∈ M | ( k ∈ A ∧ ¬ ( k ∈ B )  ∧ ¬ ( k ∈ C ) ) ∨ ( k ∈ A ∧ k ∈ D  ∧ ¬ ( k ∈ B ) ) }

= { k ∈ M |  k ∈ A ∧ ¬ ( k ∈ B )  ∧ ( ¬ ( k ∈ C ) ∨ ( k ∈ D ) ) }

Die beiden fett gesetzten Ausdrücke sind gleich, also gilt:

( A \ B ) \ ( C \ D ) = A \ ( B ∪ C ) U ( A ∩ D ) \ ( B ∩ D )

q.e.d.

Comments

erst mal vielen Dank für deine Antwort.

Ich weiß leider nicht, ob wir annehmen dürfen, dass A, B, C, D ⊂ M.

Und zu deiner Frage oben... Ja, die Aufgabe lautet: Zeigen Sie für alle Mengen A, B, C, D mit B⊂A und D⊂C die Formel, also die Voraussetzung ist gegeben.

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Nun, eine solche Menge M muss es ja geben, "schlimmstenfalls" ist M einfach die Vereinigungsmenge von A, B, C und D, dann gilt ohne Weiteres: A, B, C, D  ⊂ M.

Daher ist diese Voraussetzung gar keine Einschränkung und kann somit auch weggelassen werden.

Allerdings frage ich mich immer noch, warum B⊂A und D⊂C vorausgesetzt wird, denn ich komme auch ohne diese Voraussetzung zu meinem Ergebnis. Wenn das aber ohne diese Voraussetzung nicht möglich ist, dann muss meine Berechnung (mindestens) einen Fehler enthalten ...

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Stimmt, an die Vereinigung hab ich gar nicht gedacht...

Mal noch eine Frage: Wie kann der aus der disjunkten Vereinigung ein v (oder) werden bei der rechten Seite?