Prozentrechnung Verschiedene Ergebnisse

Question

Aufgabe:

Ein Geschäftsmann hält über 5 Jahre Anteile an einem Unternehmen. Der Wert des Unternehmens sowie der Prozentsatz des Anteils schwankt über die Jahre.

Die Werte lauten wie folgt:

Jahr 1: 500.000 - 40%

Jahr 2: 600.00 - 20%

Jahr 3: 450.000 - 10%

Jahr 4: 500.000 - 30%

Jahr 5: 550.000 - 30%

Ich möchte den Durchschnitt des Beteiligungswertes der 5 Jahre errechnen.

Bei verschiedenen Rechenwegen komme cih aber auf verschiedene Ergebnisse. Wieso?

Problem/Ansatz:

Rechenweg 1: Der Wert jedes Jahres wird einzeln berechnet (Bsp. 500.000 x 0.4). Diese fünf Werte werden addiert und dann durch 5 geteilt. Als Ergebnis bekomme cih hier 136.000.

Rechenweg 2: Alternativ kann ich den Durchschnitt des Unternehmenswerts berechnen (alle Werte addieren, dann durch 5) und diesen dann mit dem Durchschnitt der Prozentsätze multiplizieren. Als Ergebnis bekomme cih hier 135.200.

Wieso komme ich hier auf unterschiedliche Ergebnisse?

Answer 1

Aloha :)

Der Wert des \(i\)-ten Unternehmens sei \(w_i\), der Anteil sei \(p_i\). Dann sind deine Rechenwege:

$$R_1=\frac{1}{5}\sum\limits_{i=1}^5w_i\cdot p_i$$$$R_2=\left(\frac{1}{5}\sum\limits_{i=1}^5w_i\right)\cdot\left(\frac{1}{5}\sum\limits_{k=1}^5p_k\right)=\frac{1}{25}\sum\limits_{i=1}^5\sum\limits_{k=1}^5w_i\cdot p_k$$Bei Rechenweg 1 multiplizierst du den Wert eines Unternehmens \(w_i\) mit genau seinem Anteil \(p_i\). Das ergibt 5 Summanden über die du den Mittelwert bildest. Bei Rechenweg 2 multiplizierst du den Wert eines jeden Unternehmens \(w_i\) mit den Anteilen \(p_k\) aller Unternehmen. Das ergibt 25 Summanden über die du den Mittelwert bildest. Rechenweg 2 macht keinen Sinn, denn was hat z.B. der Anteil \(p_2\) von Unternehmen 2 mit dem Wert \(w_1\) von Unternehmen 1 zu tun?