"Gib verschiedene Parametergleichungen der Geraden g an, auf denen die Punkte A (2|4|1) und B (3|0|2) liegen.

Question

Ich habe am Mittwoch meine Matheklausur (12.Klasse) und bin gerade dabei das Thema "Geraden im Raum" zu üben. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie man mehrere Parametergleichungen einer Geraden g aufstellt.

Aufgabe:

Geben Sie verschiedene Parametergleichungen (mehr als drei) der Geraden g an, auf der die Punkte A(2|4|1) und B(3|0|-2) liegen.

Problem/Ansatz:

Ich habe schon zwei Gleichungen aufgestellt. In der ersten hab ich den Punkt A als Stützvektor genommen und den Vektor AB als Richtungsvektor. Bei der anderen hab ich den Punkt B als Stützvektor und den Vektor BA als Richtungsvektor genommen. Mehr kann ich auch nicht :(

Answer 1

noch 2: Stützpunkte wie vorher, dann 2AB als Richtungsvektor

noch 2: Stützpunkte wie vorher, dann 3BA als Richtungsverktor

setze mal den Parameter = 1. Dann erhältst du einen neuen Stützpunkt. Kombiniere den mit den Richtungsvektoren.

Comments

Verzeih mir aber ich habe nicht genau verstanden was du meinst :/ Soll ich quasi für eine weitere Gleichung den Richtungsvektor mit 2 multiplizieren? Beispielsweise den Vektor AB?

Und ich verstehe nicht bei welcher Gleichung ich 1 für den Parameter einsetzen soll. Inwiefern bildet das einen neuen Stützvektor?

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Soll ich quasi für eine weitere Gleichung den Richtungsvektor mit 2 multiplizieren?

Ja, denn die Richtung bleibt ja gleich.

In der Geradengleichung hast du doch t vor dem Richtungsvektor.Wenn du t=1 setzt und den entsprechenden Geradenpunkt ausrechnest, kannst du den als neuen Stützvektor nehmen.

x= (2|4|1) + t* (1|-4|-3) t=1 liefert: (3|0|-2) ein neuer Stützvektor, den du mit allen bisher gefundenen Richtingsvektoren kombinieren kannst.

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Vielen Dank! Hat mir sehr weitergeholfen  ☺️

Answer 2

Deine Gerade lautet

X: g(t)=A + t (B-A)

für jedes t erhältst Du einen Punkt auf der Geraden:

A' = g(t1)

B' = g(t2)

X: g'(t)=A' + t (B'-A')

t1,t2 beliebig t1<>t2

es genügt auch nur den Stützpunkt/Richtungsvektor auszutauschen um eine neue Parameterform zu generieren...

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Vielen lieben Dank!!

Gruß Mia

Answer 3

In der ersten hab ich den Punkt A als Stützvektor genommen und den Vektor AB als Richtungsvektor.

Dann lautet deine Gleichung

$$g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\4\\1 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1\\-4\\-3 \end{pmatrix}$$

Wenn du für r z.B. 2 einsetzt, erhältst du einen weiteren Punkt auf der Geraden mit den Koordinaten (4|-4|-5). Den kannst du auch mit \( \vec{AB} \) oder \( \vec{BA} \) kombinieren.

Gruß, Silvia

Comments

Vielen vielen Dank!! Also könnte ich quasi immer für r eine andere Zahl nehmen und somit verändere ich nur den Richtungsvektor. Der Stützvektor darf gleich bleiben, oder?

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Wenn du für r eine Zahl wählst, erhältst du einen weiteren Punkt auf der Geraden. Diesen Punkt kannst du als Stützvektor wählen und mit einem der beiden Richtungsvektoren, die du vorher schon berechnet hast, kombinieren. Du kannst aber auch einen neuen Richtungsvektor bilden, indem du z.B. \( \vec{AC} \) berechnest und mit den Punkten A oder B kombinierst.

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Vielen Dank Silivia :) bin jetzt definitiv nicht mehr verwirrt wie vorher

Gruß Mia :)

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Das freut mich, Mia!

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Hallo Silvia,

ich schlage mich hier so rum:-)

Ausgang:

g:x= (2;4;1) + r * (1;-4;-3)

würde das heißen: Wenn du für r z.B. 2 einsetzt, erhältst du einen weiteren Punkt auf der Geraden mit den Koordinaten (4|-4|-5).

würde dann die weitere Gleichung wie folgt lauten:

g:x= (4;-4;5)+r*(1;-4;-3)

Lieben Dank für Unterstützung.

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Genau, das wäre eine weitere Gleichung der Geraden.

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Lieben Dank für die schnelle Hilfe