Eine Urne hat 12 Kugeln ohne zurücklegen

Question

Marc und Julia diskutieren über den Zufall. Angenommen in einer Urne sind 14 blaue und 8 rote Kugeln. Wenn ich nu aus dieser Urne 12 Augen ohne Zurücklegen ziehe und 10 oder mehr der gezogenen Kugeln blau sind, dann kann dies kein Zufall sein.

a) Mit wie vielen blauen Kugeln würden Sie rechen, wenn man aus der Urne 12 Kugeln ohne zurücklegen zieht.

Mein Ansatz:

Insgesamt sind es ja 22 Kugeln. Daher würde ich nun rechnen 22*21*20*19*18*17*16*15*14*13*12*11*10=

stimmt dieser Lösungsansatz?

Answer 1

a) Mit wie vielen blauen Kugeln würden Sie rechen, wenn man aus der Urne 12 Kugeln ohne zurücklegen zieht.

12·14/22 = 7.636

Comments

Was ist hier der Ansatz? Würde es auch gerne verstehen.

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n = 12 ist die Anzahl der Versuche

h = 14/22 ist die relative Häufigkeit der blauen Kugeln zu Beginn. Das ist auch die Wahrscheinlichkeit das die erste Kugel die gezogen wird blau ist.

Der Erwartungswert der hypergeometrischen Verteilung ergibt sich aus

E(X) = n * h

https://de.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrische_Verteilung#Erwartungswert

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Prima, danke für die Erläuterung!

Answer 2

Wenn man 12 Kugeln zieht, gibt es zwischen 4 und 12 blaue Kugeln.

X= Anzahl der blauen.  (oder y=Anzahl der roten)

P(X=4)=\( \begin{pmatrix} 14\\4 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 8\\8 \end{pmatrix} \)/ \( \begin{pmatrix} 22\\12 \end{pmatrix} \) = P(y=8)

P(X=5)=\( \begin{pmatrix} 14\\5 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 8\\7 \end{pmatrix} \)/ \( \begin{pmatrix} 22\\12 \end{pmatrix} \)= P(y=7)

usw. ...

P(X=12)=\( \begin{pmatrix} 14\\12 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 8\\0 \end{pmatrix} \)/ \( \begin{pmatrix} 22\\12 \end{pmatrix} \) = P(y=0)

Diese Verteilung von y nennt man hypergeometrisch.

Dann

Erwartungswert E(y) = 4*p(y=4) + 5*P(y=5) + ... 12*P(y=12) = 12*8/22=4,36363636...

                        E(X) = 4*p(X=4) + 5*P(X=5) + ... 12*P(X=12) = 12-12*8/22=7,63636363....

Antw: Ich würde mit ca. 7,6 blauen rechnen und ca. 4,4 roten rechnen.

Man kann das Ergebnis auch erraten: von 12 Kugel sind wohl 8/22 rot, also 8/22  * 12 =4,36363636...