Aloha :)
Du hast 2 Vektoren, \(\vec a\) und \(\vec b\), die das Rechteck aufspannen. Du kannst \(\vec b\) auf \(\vec a\) projezieren, diese Projektion von \(\vec b\) subtrahieren und bekommst dann den Vektor, der auf \(\vec a\) senkrecht steht:$$\vec b_\perp=\vec b-\frac{(\vec b\cdot\vec a)\cdot\vec a}{a^2}$$Für das Quadrat der Fläche gilt nun:
$$F^2=\left(|\vec a|\cdot|\vec b_\perp|\right)^2=a^2\vec b_\perp^2=a^2\left(\vec b-\frac{(\vec b\cdot\vec a)\cdot\vec a}{a^2}\right)^2$$$$\phantom{F^2}=a^2\left(\vec b^2-2\frac{(\vec b\cdot\vec a)\cdot\vec b\cdot\vec a}{a^2}+\left(\frac{(\vec b\cdot\vec a)\cdot\vec a}{a^2}\right)^2\right)=a^2\left(b^2-2\frac{(\vec b\cdot\vec a)^2}{a^2}+\frac{(\vec b\cdot\vec a)^2\cdot\vec a^2}{a^4}\right)$$$$\phantom{F^2}=a^2\left(b^2-2\frac{(\vec b\cdot\vec a)^2}{a^2}+\frac{(\vec b\cdot\vec a)^2}{a^2}\right)=a^2\left(b^2-\frac{(\vec b\cdot\vec a)^2}{a^2}\right)=a^2b^2-(\vec a\cdot\vec b)^2$$$$\phantom{F^2}=a^2b^2-(ab\cos\angle(\vec a,\vec b))^2=a^2b^2(1-\cos^2\angle(\vec a,\vec b))=a^2b^2\sin^2\angle(\vec a,\vec b)$$
