Extremwertproblem Aufgabe y=-0,5x^2+4

Question

Ich lerne gerade für meine Mathe-Klausur und benötige etwas Hilfe, ich würde mich freuen wenn ihr mir folgende Aufgabe erklären könntet:

Das unten abgebildete Rechteck soll einen maximalen Flächeninhalt bekommen. Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt dieses Rechtecks, wenn die begrenzende Parabel gegeben ist durch

f(x)=-0,5x^2+4.

Answer 1

der Flächeninhalt eines Dreiecks wird berechnet A = a * b

Die Seite a (Strecke AB) ist in diesem Fall 2x (jeweils 1x rechts und links der y-Achse). Die Seite b (Strecke BC) hat die Länge f(x). Also gilt für den Flächeninhalt

$$A=2x\cdot f(x)\\ = 2x\cdot(-0,5x^2+4)\\ =-x^3+8x\\ A'(x)=-3x^2+8$$

Nun setzt du die erste Ableitung = 0, um Extremstellen zu berechnen und verwendest die 2. Ableitung, um Hoch- und/oder Tiefpunkte zu bestimmen (wobei letztere hier nicht interessieren).

Dann bleibt nur noch die Berechnung des Flächeninhalts.

Gruß, Silvia

Comments

Hallo Silvia, danke für deine Antwort ^^

So weit hab ich es jetzt verstanden, ich habe auch A‘(x) = 0 gesetzt.

-3x^2+8 = 0

1,63 = x

Ich denke, dass hab ich ebenfalls richtig gemacht. Als nächsten Schritt habe ich x in die zweite Ableitung eingesetzt:

A‘‘(x) = -6x

A‘‘(1,63) = -6*1,63 = -9,78 < 0 => Tiefpunkt (oder?)

A = 2*(-0,5*1,63^2+4) = 5,3431

Hab ich das jetzt richtig gemacht?

LG Ime

---

A‘‘(1,63) = -6*1,63 = -9,78 < 0 => Tiefpunkt (oder?)

Nein, wenn f''(x) kleiner 0, handelt es sich um einen Hochpunkt und

wenn f''(x) größer 0, handelt es sich um einen Tiefpunkt

A = 2*(-0,5*1,632+4) = 5,3431

Hier fehlt noch das x aus 2x, du hast berechnet 2 * f(x)

Richtig ist

A= 2*1,63*(-0,5*1,632²+4) =  8,71

Melde dich, wenn noch etwas unklar sein sollte.

viele Grüße, Silvia

---

Ich hab also, bis auf das was du für mich korrigiert hast, alles fertig und nun richtig?

Dann ist mir alles klar geworden, danke für deine Hilfe :D

---

Ich hab also, bis auf das was du für mich korrigiert hast, alles fertig und nun richtig?

Ja, so ist es :)

---

Noch mal Danke ^^

Answer 2

Rechtecksfläche, wenn (x;y) die rechte obere Ecke ist:

A ( x,y) = 2x*y  und es gilt  y = -0,5x^2+4.

Also wird der Flächeninhalt gegeben durch

A(x) = 2x*( -0,5x^2+4) =  -x^3 + 8x

==>  A ' (x) = -3x^2 + 8

==> A ' (x) = 0  <=>  x = 2*√6  / 3 ≈ 1,63   ( neg. x sinnlos)

und A ' ' ( 2*√6  / 3 ) = -4*√6 < 0 ==>  Maximum bei x = 2*√6  / 3 ≈ 1,63

max. Flächeninhalt  A(  2*√6  / 3) ≈ 8,71

Comments

Erst einmal danke für deine Antwort :)

Jedoch habe ich nicht alles verstanden, wieso ist es A = 2x*y und nicht nur A = x*y?

Und ich kann nicht nach vollziehe wie du von A‘(x) = 0 auf x = 2*√6/3 kommst, den Rest danach verstehen ich auch nicht. Wenn du mir das noch erklären würdest, wäre das echt nett, danke :)