loga(u^v) = v ·loga(u)
Sei z = loga(u^v) und y = loga(u) #
==> a^z = u^v und a^y = u
Das 2. beim 1. einsetzt gibt a^z = ( a^y )^v
mit Potenzgesetz also a^z = a^(y*v)
Da beide die gleiche Basis haben
==> z = y*v = v*y
Einsetzen von # beendet den Beweis :
loga(u^v) = v * loga(u) .
b) loga(u) = logb(u)/logb(a)
Sei x = logb(u) und y = logb(a) und z = loga(u) #
==> b^x = u und b^y = a und a^z = u
1 und 3 liefern b^x = a^z und dort 2 einsetzen
gibt b^x =(b^y) ^z = b^(y*z)
vorne und hinten gleiche Basis
==> x = y*z
==> x / y = z . Jetzt wieder # einsetzen. q.e.d.