0 Daumen
1k Aufrufe

 Seien a,b,u und v reelle Zahlen mit a,b,u, v > 0 und a,b ≠ 1.

(a) Beweisen Sie das Logarithmengesetz loga(u^v) = v ·loga(u), indem Sie ein geeignetes Potenzgesetz verwenden.

(b) Beweisen Sie das folgende Logarithmusgesetz:
loga(u) = logb(u)/logb(a)
.


Problem/Ansatz:

Brauche Hilfe diese beiden Aufgaben zu lösen. Kann mir jemand diese Vorrechnen in verständlichen Schritten?


Lg und Danke

Avatar von

Sicher, dass

a,b,u und v reelle Zahlen

alles reelle Zahlen sein dürfen?
Welche Potenzgesetze kennst du denn für reelle Exponenten?

3 Antworten

0 Daumen

a) \(\log_{a}\left(u^{v}\right)=\log_{a}\left(\left(a^{\log_{a}(u)}\right)^{v}\right)=\log_{a}\left(a^{v\cdot\log_{a}(u)}\right)=v\cdot\log_{a}(u)\)

b)

    \(\begin{aligned} \frac{\log_{b}\left(u\right)}{\log_{b}\left(a\right)} & =\frac{\log_{b}\left(u\right)\cdot\log_{a}\left(b\right)}{\log_{b}\left(a\right)\cdot\log_{a}\left(b\right)}\\ & =\frac{\log_{b}\left(u\right)\cdot\log_{a}\left(b\right)}{\log_{a}\left(b^{\log_{b}\left(a\right)}\right)}\\ & =\frac{\log_{b}\left(u\right)\cdot\log_{a}\left(b\right)}{\log_{a}\left(a\right)}\\ & =\frac{\log_{b}\left(u\right)\cdot\log_{a}\left(b\right)}{1}\\ & =\log_{b}\left(u\right)\cdot\log_{a}\left(b\right)\\ & =\log_{a}\left(b^{\log_{b}\left(u\right)}\right)\\ & =\log_{a}\left(u\right) \end{aligned}\)

in verständlichen Schritten

Ob die Schritte verständlich sind, hängt davon ab, welche Regeln du kennst. Ich habe bei jedem Umformungsschritt eine einzige Regel angewendet. Gib für jeden Umformungsschritt an, welche Regel das ist. Falls du nicht weißt, welche Regel angewendet wurde, dann frag.

Avatar von 107 k 🚀

super vielen dank :) ist sehr verständlich danke

0 Daumen

\(a^b=c \quad;\quad b=\log_a c\)


zu (a)

\(x=\log_a(u^v) \quad;\quad a^x=u^v\)

\(y=v\cdot \log_a u \quad;\quad \frac{y}{v}=\log_a u \quad;\quad a^{(y/v)}=u \quad;\quad a^y=u^v\)

\(\Rightarrow x=y\)


zu (b)

zu zeigen ist \(\log_a(u) = \dfrac{\log_b(u)}{\log_b(a)} \)

\(x=\log_a u \quad;\quad a^x=u  \quad(1)\)

\(y=\log_b u \quad;\quad b^y=u  \quad(2)\)

\(z=\log_b a \quad;\quad b^z=a   \quad(3)\)

\((1),(2) \Rightarrow a^x=b^y  \quad(4)\)

\((3)\Rightarrow a^x= (b^z)^x=b^{z\cdot x}\quad(5)\)

\((4),(5)\Rightarrow y=z\cdot x\)

\(x=\dfrac{y}{z}\)

\(\log_a(u) = \dfrac{\log_b(u)}{\log_b(a)} \)


Avatar von
0 Daumen

loga(u^v) = v ·loga(u)

Sei z = loga(u^v)   und  y = loga(u)   #

 ==>   a^z = u^v   und  a^y = u

Das 2. beim 1. einsetzt gibt    a^z = ( a^y )^v

mit Potenzgesetz also      a^z     = a^(y*v)

Da beide die gleiche Basis haben

==>                  z = y*v  = v*y

Einsetzen von # beendet den Beweis :

            loga(u^v)  = v * loga(u)  .

b)  loga(u) = logb(u)/logb(a)

Sei x =  logb(u) und y = logb(a) und z  = loga(u)  #

 ==>   b^x = u und  b^y = a  und  a^z = u

1 und 3 liefern     b^x = a^z und dort 2 einsetzen

            gibt  b^x  =(b^y) ^z  = b^(y*z)

vorne und hinten gleiche Basis

==>      x = y*z

==>     x / y = z  . Jetzt wieder # einsetzen.   q.e.d.

Avatar von 289 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community